Question

4．如图，质量m=1kg的物体以v₀=4m/s的初速度从水平面的某点向右运动并冲上半径R=0.1m的竖直光滑半圆环．物体与水平面间有摩擦，g=10m/s²．

（1）物体能从M点飞出，落到水平面时落点到N点的距离的最小值为多大？
（2）在第（1）问的情形下，小球通过N点时对圆轨道的压力多大？
（3）设出发点到N点的距离为x，物体从M点飞出后，落到水平面时落点到N点的距离为y，作出y²随x变化的关系如图．求物体与水平面间的动摩擦因数μ．
（4）要使物体从某点出发后的运动过程中不会在N到M点的中间离开半圆轨道，求出发点到N点的距离x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由牛顿第二定律求得在M点的速度范围，然后由平抛运动规律求得水平位移，即可得到最小值；
（2）根据机械能守恒求得在N点的速度，然后由牛顿第二定律求得支持力，即可由牛顿第三定律求得压力；
（3）根据动能定理得到M点速度和x的关系，然后由平抛运动规律得到y和M点速度的关系，即可得到y和x的关系，结合图象求解；
（4）根据物体不脱离轨道得到运动过程，然后由动能定理求解．

解答 解：（1）物体能从M点飞出，那么对物体在M点应用牛顿第二定律可得：$mg≤\frac{m{{v}_{M}}^{2}}{R}$，所以，${v}_{M}≥\sqrt{gR}=1m/s$；
物体能从M点飞出做平抛运动，故有：$2R=\frac{1}{2}g{t}^{2}$，落到水平面时落点到N点的距离$x={v}_{M}t≥\sqrt{gR}•2\sqrt{\frac{R}{g}}=2R=0.2m$；
故落到水平面时落点到N点的距离的最小值为0.2m；
（2）在第（1）问的情形下，v_M=1m/s，物体从N到M只有重力做功，机械能守恒，故有：$\frac{1}{2}m{{v}_{N}}^{2}=2mgR+\frac{1}{2}m{{v}_{M}}^{2}=\frac{5}{2}mgR$；
对小球在N点应用牛顿第二定律可得：小球受到的支持力${F}_{N}=mg+\frac{m{{v}_{N}}^{2}}{R}=6mg=60N$；
故由牛顿第三定律可得：小球通过N点时对圆轨道的压力为60N；
（3）物体从出发点到M的运动过程作用摩擦力、重力做功，故由动能定理可得：$-μmgx-2mgR=\frac{1}{2}m{{v}_{M}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$；
物体从M点落回水平面做平抛运动，故有：$2R=\frac{1}{2}g{t}^{2}$，$y={v}_{M}t=\sqrt{{{v}_{M}}^{2}•\frac{4R}{g}}$=$\sqrt{{{（v}_{0}}^{2}-2μgx-4gR）•\frac{4R}{g}}$=$\sqrt{0.48-0.8μx}$；
由图可得：y²=0.48-0.16x，所以，$μ=\frac{0.16}{0.8}=0.2$；
（4）要使物体从某点出发后的运动过程中不会在N到M点的中间离开半圆轨道，那么物体能到达的最大高度0＜h≤R或物体能通过M点；
物体能到达的最大高度0＜h≤R时，由动能定理可得：$-μmgx-mgh=0-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$，所以，$x=\frac{\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}-mgh}{μmg}=\frac{{{v}_{0}}^{2}}{2μg}-\frac{h}{μ}$，所以，3.5m≤x＜4m；
物体能通过M点时，由（1）可知${v}_{M}≥\sqrt{gR}=1m/s$，由动能定理可得：$-μmgx-2mgR=\frac{1}{2}m{{v}_{M}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$；
所以，$x=\frac{\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{M}}^{2}-2mgR}{μmg}$=$\frac{{{v}_{0}}^{2}-{{v}_{M}}^{2}-4gR}{2μg}$，所以，0≤x≤2.75m；
故：要使物体从某点出发后的运动过程中不会在N到M点的中间离开半圆轨道，出发点到N点的距离x的取值范围为0≤x≤2.75m或3.5m≤x＜4m；
答：（1）物体能从M点飞出，落到水平面时落点到N点的距离的最小值为0.2m；
（2）在第（1）问的情形下，小球通过N点时对圆轨道的压力为60N；
（3）设出发点到N点的距离为x，物体从M点飞出后，落到水平面时落点到N点的距离为y，作出y²随x变化的关系如图．那么物体与水平面间的动摩擦因数μ为0.2；
（4）要使物体从某点出发后的运动过程中不会在N到M点的中间离开半圆轨道，出发点到N点的距离x的取值范围为0≤x≤2.75m或3.5m≤x＜4m．

点评 经典力学问题一般先对物体进行受力分析，求得合外力及运动过程做功情况，然后根据牛顿定律、动能定理及几何关系求解．