Question

3．某运动员做跳伞训练，他从悬停在空中的直升飞机上由静止跳下，做自由落体运动，跳离飞机一段时间后打开降落伞做减速下落，然后做匀速运动落到地面，他打开降落伞的速度图线如图a．降落伞用8根对称的绳悬挂运动员，每根绳与中轴线的夹角均为37°，如图b．已知他打开降落伞落到地面所用时间为t=20s，人的质量为m₁=60kg，降落伞质量为m₂=10kg，不计人所受的阻力，打开伞后所受阻力f与速度v成正比，即f=kv（g取10m/s²，sin37²=0.6，cos37°=0.8），求：
（1）阻力系数k和打开伞瞬间的加速度a的大小和方向？
（2）悬绳能够承受的拉力至少为多少？
（3）人下落的距离为多大？

Answer 1

分析 （1）抓住平衡，根据kv=（m₁+m₂）g求出阻力系数，根据牛顿第二定律求出加速度的大小；
（2）对人分析，根据牛顿第二定律求出拉力的大小；
（3）根据速度位移公式求出打开降落伞前人下落的高度，然后根据运动学公式和牛顿第二定律求出打开降落伞后人做变加速运动下落的高度，二者相加即为人下落的距离．

解答 解：（1）由图a可知，当速度v=5m/s时，物体做匀速运动，受力平衡，
则有：kv=（m₁+m₂）g，
k=$\frac{（{m}_{1}+{m}_{2}）g}{v}$=140N•s/m．
打开伞瞬间对整体，根据牛顿第二定律可得，
kv₀-（m₁+m₂）g=（m₁+m₂）a
解得：a=$\frac{k{v}_{0}}{{m}_{1}+{m}_{2}}$-g=30m/s²，方向竖直向上．
（2）设每根绳拉力为T，以运动员为研究对象，根据牛顿第二定律可得，
则有：8Tcos37°-m₁g=m₁a，
解得：T=$\frac{{m}_{1}（g+a）}{8cos37°}$=375N，
由牛顿第三定律得，悬绳能承受的拉力为至少为375N．
（3）由v-t图知，人打开降落伞时速度v₀=20m/s，
则打开降落伞前人下落的距离为：
h₀=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2g}$=20m，
设人和伞的总质量为m，打开降落伞后人做变加速运动，任意取无限小的一段时间△t，
则有：△h=v△t------①
又因为v=$\frac{f}{k}$------②
根据牛顿第二定律可得，
mg-f=ma------③
联立①②③可解得：△h=$\frac{mg-ma}{k}$△t，
由于a△t=△v，
则有：△h=$\frac{mg}{k}$△t-$\frac{m}{k}$△v，
两边求和：h₁=$\frac{mg}{k}$t-$\frac{m}{k}$[（v₁-v₀）+（v₂-v₁）+…+（v_n-v_n-1）]，
解得：h₁=107.5m，
则人下落的距离h=h₀+h₁=127.5m．
答：（1）阻力系数k为140N•s/m；打开伞瞬间的加速度a的大小为30m/s²，方向竖直向上；
（2）悬绳能够承受的拉力至少为375N；
（3）人下落的距离为127.5m．

点评 本题考查了共点力平衡和牛顿第二定律的基本运用，关键合理地选择研究的对象，通过图象能够得出人和降落伞的运动规律，运用牛顿第二定律即可进行求解，难度不大．