Question

1．如图所示，半径为R，内径很小的光滑固定半圆管竖直放置，两个质量均为m的小球A、B，以不同的速度进入管内，A通过最高点C时，对管壁上部的压力为8mg，B通过最高点时，对管壁下部的压力为0.75mg．求A、B两球落地点间的距离．

Answer 1

分析 在C点，对两个球分别受力分析，根据合力提供向心力，由牛顿第二定律求出两球通过C点的速度，此后球做平抛运动，根据运动学公式列式求解即可．

解答 解：两个小球通过最高点C时，受重力和管壁的作用力，这两个力的合力作为向心力，离开轨道后两球均做平抛运动，A、B两球落地点间的距离等于它们平抛运动的水平位移之差．
在C点，由牛顿第二定律得：
对A球有：9mg+mg=m$\frac{{v}_{A}^{2}}{R}$，解得：v_A=3$\sqrt{gR}$
对B球有：mg-0.75mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$，解得：v_B=$\frac{1}{2}$$\sqrt{gR}$
由平抛运动规律可得落地时它们的水平位移分别为：
 s_A=v_At=v_A$\sqrt{\frac{2×2R}{g}}$=3$\sqrt{gR}$×$\sqrt{\frac{2×2R}{g}}$=6R
 s_B=v_Bt=v_B$\sqrt{\frac{2×2R}{g}}$=R
则有：s_A-s_B=5R
即A、B两球落地点间的距离为5R．
答：A、B两球落地点间的距离为5R．

点评 本题关键是对小球在最高点处时受力分析，知道在圆轨道的最高点，由合力提供向心力，由向心力公式和牛顿第二定律求出平抛的初速度．