Question

12．如图所示，一个半径为L的半圆形硬导体ab在竖直U型框架上从静止释放，匀强磁场的磁感应强度为B，回路电阻为R，半圆形硬导体ab的质量为m，电阻为r，重力加速度为g，其余电阻不计，当半圆形硬导体ab的速度为v时（未达到最大速度），求：
（1）ab两端的电压；
（2）半圆形硬导体ab所能达到的最大速度．

Answer 1

分析 （1）导体ab切割磁感线产生感应电动势，相当于电源，ab两端的电压是外电压，先由E=2BLv，I=$\frac{E}{R+r}$，求出回路中的感应电流，再由欧姆定律求出ab两端的电压．
（2）导体ab受到的安培力F方向竖直向上，安培力先小于导体ab的重力，做加速运动，速度增大，安培力增大，当安培力与重力平衡时做匀速运动，速度达到最大，推导出安培力与速度的关系，由平衡条件求解最大速度

解答 解：（1）当半圆形硬导体ab的速度为v时，导体感应电动势：E=2BLv，
回路感应电流：I=$\frac{E}{R+r}$=$\frac{2BLv}{R+r}$，
ab两端的电压：I=IR=$\frac{2BLRv}{R+r}$；
（2）根据楞次定律可得导体ab受到的安培力F方向竖直向上，当F=mg时，导体ab达到的最大速度v_m，
导体感应电动势：E=2BLv_m，
回路感应电流：I=$\frac{E}{R+r}$=$\frac{2BL{v}_{m}}{R+r}$，
导体ab受到的安培力：F=BI•2L=$\frac{4{B}^{2}{L}^{2}{v}_{m}}{R+r}$，
当F=mg时速度最大，即：mg=$\frac{4{B}^{2}{L}^{2}{v}_{m}}{R+r}$，
解得导体ab达到的最大速度：v_m=$\frac{mg（R+r）}{4{B}^{2}{L}^{2}}$；
答：（1）ab两端的电压为$\frac{2BLRv}{R+r}$；
（2）半圆形硬导体ab所能达到的最大速度为$\frac{mg（R+r）}{4{B}^{2}{L}^{2}}$．

点评 本题是ab是曲线，其有效切割的长度等于2a，与直导线相似，关键推导安培力与速度的关系式，再根据电磁感应的基本规律解题．