Question

8．如图所示，在空中有一水平方向的匀强磁场区域，区域的上、下边缘间距为h，磁感应强度为B．有一宽度为b（b＜h）、长度为L、电阻为R、质量为m的矩形导体线圈紧贴磁场区域的上边缘从静止起竖直下落，当线圈的PQ边出磁场下边缘时，恰好开始匀速运动．求：
（1）当线圈的PQ边出磁场下边缘时，匀速运动的速度大小v．
（2）线圈穿越磁场区域过程中所产生的焦耳热Q．
（3）线圈穿越磁场区域经历的时间t．

Answer 1

分析 （1）当线圈的PQ边到达磁场下边缘时，恰好做匀速运动，重力与安培力二力平衡，由平衡条件和安培力公式求出线圈的速度；
（2）线圈穿越磁场区域过程中，机械能转化为内能，运用能量守恒定律求焦耳热．
（3）线圈开始运动到刚好完全进入磁场的过程，根据牛顿第二定律和加速度的定义式，运用微元法求线框进入磁场的时间．线框完全在磁场中做匀加速直线运动，由运动学公式求时间，即可得到总时间．

解答 解析：（1）当线圈匀速运动时有  $mg=B\frac{BLυ}{R}L$
解得：$υ=\frac{mgR}{{{B^2}{L^2}}}$
（2）根据能量守恒定律  $mg（h+b）=\frac{1}{2}m{υ^2}+Q$
解得：$Q=mg（h+b）-\frac{{{m^3}{g^2}{R^2}}}{{2{B^4}{L^4}}}$
（3）线圈开始运动到刚好完全进入磁场的过程，末速度为υ₀    
根据牛顿第二定律得 $mg-F=ma=m\frac{△υ}{△t}$
得：$mg\sum{△t}-BL\sum{i△t}=m\sum{△υ}$    
则：mgt₁-BLq=mυ_o
又 $q=\frac{△φ}{R}=\frac{BLb}{R}$
解得：${t_1}=\frac{υ_0}{g}+\frac{{{B^2}{L^2}b}}{mgR}$
线圈进入磁场后做匀加速下降的过程  ${t_2}=\frac{{υ-{υ_0}}}{g}$
线圈匀速离开磁场的过程  ${t_3}=\frac{b}{υ}$
线圈穿越磁场的总时间 $t={t_1}+{t_2}+{t_3}=\frac{mR}{{{B^2}{L^2}}}+\frac{{2{B^2}{L^2}b}}{mgR}$
答：
（1）当线圈的PQ边出磁场下边缘时，匀速运动的速度大小v是$\frac{mgR}{{B}^{2}{L}^{2}}$．
（2）线圈穿越磁场区域过程中所产生的焦耳热Q是mg（h+d）-$\frac{{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}}{2{B}^{4}{L}^{4}}$．
（3）线圈穿越磁场区域经历的时间t是$\frac{mR}{{B}^{2}{L}^{2}}$+$\frac{2{B}^{2}{L}^{2}b}{mgR}$．

点评 本题是电磁感应与力学的综合，正确分析线圈的受力情况，运用力学的基本规律解答，要注意线框进入磁场时做的是非匀变速运动，不能根据运动学公式求解时间，而运用积分法求解，要学会运用．