Question

17．如图所示间距为1的无限长平行光滑导轨MN固定于水平面上．在导轨的PE和QN区域各有一竖直向下的匀强磁场，磁感应强度均为B，现有两根相同的导体棒a，b分别垂直导轨静置在两磁场左边界的P，Q处．导体棒的长度为l，质量为M，电阻为R，质量均为m的C，D两物块通过一劲度系数为k的轻质弹簧相连，C通过轻质细绳与a相连，开始时细绳刚好拉直，但无张力，导体棒b在外力作用下向右运动，a在磁场PE区域做匀加速直线运动，进过时间t到达磁场右边界E处，此时D刚好要离开地面，E为PQ的中点，导轨电阻不计，不计一切摩擦，整个过程弹簧处于弹性限度内，已知重力加速度为g．

（1）求两导体棒a、b开始时的间距；
（2）求当a到达磁场边界E处时，b的速度大小．

Answer 1

分析 （1）两导体棒a、b开始时的间距等于2倍的PE，据题由胡克定律求出弹簧开始时压缩量和a棒到达E处时弹簧的伸长量，由几何关系求解．
（2）a在磁场PE区域做匀加速直线运动，由位移时间公式求出加速度．对a棒和C物运用牛顿第二定律列式，结合回路中感应电动势公式E=Bl（v_b-v_a）求解b的速度．

解答 解：（1）由胡克定律得开始时弹簧的压缩量为：x₁=$\frac{mg}{k}$…①
a棒到达E处时弹簧的伸长量为：x₂=$\frac{mg}{k}$…②
由几何关系得：PE=x=x₁+x₂=$\frac{2mg}{k}$…③
据题得，两导体棒a、b开始时的间距为：S=2x=$\frac{4mg}{k}$…④
（2）设a棒匀加速运动的加速度为a，有：x=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$…⑤
当a到达磁场边界E处时，根据牛顿第二定律，
对a棒有 BIl-T=Ma…⑥
对C物有 T-mg-kx₂=ma…⑦
据题 kx₂=mg…⑧
对ab回路有 I=$\frac{Bl（{v}_{b}-{v}_{a}）}{2R}$…⑨
又 v_a=at…（10）
联立④～（10）式解得：v_b=$\frac{8mg}{kt}$+$\frac{2R[2mgk{t}^{2}+8mg（M+m）]}{{B}^{2}{l}^{2}k{t}^{2}}$
答：（1）两导体棒a、b开始时的间距是$\frac{4mg}{k}$；
（2）当a到达磁场边界E处时，b的速度大小是$\frac{8mg}{kt}$+$\frac{2R[2mgk{t}^{2}+8mg（M+m）]}{{B}^{2}{l}^{2}k{t}^{2}}$．

点评 本题是复杂的电磁感应中的力学问题，对于a棒和C物组成的系统，运用隔离法研究加速度．对于a、b回路，要知道回路产生的感应电动势为 E=Bl（v_b-v_a）．