Question

如图所示，两足够长的平行光滑的金属导轨MN、PQ相距为，导轨平面与水平面的夹角=30°，导轨电阻不计，磁感应强度为B的匀强磁场垂直于导轨平面向上．长为 的金属棒 垂直于MN、PQ放置在导轨上，且始终与导轨接触良好，金属棒的质量为、电阻为r=R．两金属导轨的上端连接一个灯泡，灯泡的电阻R_L=R，重力加速度为g．现闭合开关S，给金属棒施加一个方向垂直于杆且平行于导轨平面向上的、大小为F=mg的恒力，使金属棒由静止开始运动，当金属棒达到最大速度时，灯泡恰能达到它的额定功率．求：
（1）金属棒能达到的最大速度v_m；
（2）灯泡的额定功率P_L；
（3）金属棒达到最大速度的一半时的加速度a；
（4）若金属棒上滑距离为L时速度恰达到最大，求金属棒由静止开始上滑4L的过程中，金属棒上产生的电热Q_r．

Answer 1

（1）金属棒匀速运动时速度最大，则有F=mgsinθ+F_安
又E=BLv_m、I=

E

R+r

=

E

2R

、F_安=BIL
联立解得，v_m=

2(F-mgsinθ)

B2L2

=

2mg(1-sinθ)

B2L2

（2）由上得 I=

BLvm

2R

=

mg(1-sinθ)

BL

灯泡的额定功率为P=I²R=

m2g2(1-sinθ)2

B2L2R

（3）金属棒达到最大速度的一半时，速度为v=

mg(1-sinθ)

B2L2

安培力为F_安′=

B2L2v

2R

根据牛顿第二定律得：F-mgsinθ-F_安′=ma
联立解得，a=

F

2m

-

1

2

gsinθ
（4）根据能量守恒定律得：2Q_rQ_r+

1

2

m

v

2m

+mg?4Lsinθ=F?4L
解得，Q_rQ_r=2FL-2mgLsinθ-2

m3g2(1-sinθ)2

B4L4

答：
（1）金属棒能达到的最大速度v_m为

2mg(1-sinθ)

B2L2

．
（2）灯泡的额定功率P_L为

m2g2(1-sinθ)2

B2L2R

．
（3）金属棒达到最大速度的一半时的加速度a为

F

2m

-

1

2

gsinθ．
（4）金属棒由静止开始上滑4L的过程中，金属棒上产生的电热Q_r为2FL-2mgLsinθ-2

m3g2(1-sinθ)2

B4L4

．