Question

3．在半径R=5000km的某星球表面，宇航员做了如下实验，实验装置如图甲所示，竖直平面内的光滑轨道由轨道AB和圆弧轨道BC组成，将质量m=0.2kg的小球从轨道AB上高H处的某点静止滑下，用力传感器测出小球经过C点时对轨道的压力F，改变H的大小，可测出相应的F的大小，F随H的变化关系如图乙所示，求：

（1）圆轨道的半径．
（2）该星球的第一宇宙速度．

Answer 1

分析 （1）小球从A到C运动的过程中，只有重力做功，机械能守恒，根据机械能守恒定律和牛顿第二定律求出小球对轨道C点的压力与H的关系式，然后结合F-H图线求出圆轨道的半径．
（2）第一宇宙速度与贴着星球表面做匀速圆周运动的速度相等，根据万有引力等于重力，求出该星球的第一宇宙速度．

解答 解：
（1）设该星球表面的重力加速度为g₀，圆轨道的半径为r．当H=0.4m时，小球恰能通过C点，此时F=0
由机械能守恒得：
mg₀（H-2r）=$\frac{1}{2}$mv₀²
由圆周运动可得：mg₀=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$
由以上各式解得：r=$\frac{2}{5}$H=2 m
（2）当H₁=10m时，
mg₀（H₁-2r）=$\frac{1}{2}$mv²
mg₀+F=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
由F-H图象可得：g₀=5m/s²
根据万有引力定律和向心力公式有：G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mg₀
由⑦⑧⑨得该星球的第一宇宙速度：v=$\sqrt{{g}_{0}R}$=$\sqrt{5×5000×1{0}^{3}}$=5×10³m/s=5km/s．    
答：（1）圆弧轨道BC的半径为2m．
（2）该星球的第一宇宙速度为5km/s

点评 本题是牛顿运动定律与机械能守恒定律的综合题，解决本题的关键根据该规律得出压力F与H的关系式．