Question

9．如图所示，两端开口、半径为r的绝缘刚性圆管竖直放置，O₁OO₂为其中轴线，侧面上有两个高度差为h的小孔P₁和P₂，两小孔与中轴线在同一竖直平面内，P₁孔附近竖直放置一对间距为d的平行金属极板M，N，两极板间加有恒定电压，N板中有个小孔P，且P、P₁、O三点恰好位于垂直N板的水平直线上，P、P₁距离为2d，整个圆管内存在磁感应强度大小为B，方向竖直向下的匀强磁场．质量为m，电荷量为q的带正电粒子从M板由静止释放，经P、P₁进人圆管后在管内与管壁发生两次弹性碰撞（碰撞前后速度大小不变，方向变化遵循光的反射规律）后，最终恰好能回到M板，不计粒子重力．
（1）求粒子在圆管内运动的速率v
（2）求粒子从M板处释放到再次回到M板的时间T；
（3）若在整个圆管内再加上一个竖直向下的匀强电场，并适当调整MN极板间的电压，可使粒子在管内与管壁发生三次弹性碰撞后从P₂孔飞出，求电场强度大小E的可能值．

Answer 1

分析 （1）由洛伦兹力提供向心力，做匀速圆周运动，由牛顿第二定律列式，并结合几何关系，即可求解；
（2）根据粒子在电场加速，依据运动学公式求得加速时间，再根据周期公式，求得磁场运动的时间，从而即可求解；
（3）粒子在竖直方向做匀加速直线运动，水平方向粒子做匀速圆周运动，画出运动的轨迹，根据运动的时间，从而确定电场强度的大小．

解答 解：（1）粒子在管内运动轨迹的俯视图如图甲所示，其中
θ=$\frac{π}{6}$                                     
轨迹半径R=rcotθ=$\sqrt{3}$r                        
据洛伦兹力提供向心力有qυB=m$\frac{υ2}{R}$             
解得υ=$\frac{\sqrt{3}qBr}{m}$                                
（2）粒子在M、N板间的加速时间t₁=$\frac{d}{\frac{υ}{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}md}{3qBr}$   
粒子从P到P₁的运动时间t₂=$\frac{2d}{υ}$=$\frac{2\sqrt{3}md}{3qBr}$     
粒子在管内的运动时间t₃=$\frac{6θ}{2π}$•$\frac{2πR}{υ}$=$\frac{πm}{qB}$       
粒子运动的时间T=2t₁+2t₂+t₃=$\frac{8\sqrt{3}md}{3qBr}$+$\frac{πm}{qB}$    
（3）设粒子在管内运动的时间为t，粒子在竖直方向做匀加速直线运动
a=$\frac{qE}{m}$                                      
h=$\frac{1}{2}$at²；
水平方向粒子做匀速圆周运动，并与管壁发生三次弹性碰撞，其运动轨迹有图乙和图丙两种情况，


对应的运动时间分别为：
t=$\frac{3π}{2π}$•$\frac{2πm}{qB}$=$\frac{3πm}{qB}$                           
或t=$\frac{π}{2π}$•$\frac{2πm}{qB}$=$\frac{πm}{qB}$                           
解得E=$\frac{2qh{B}^{2}}{9{π}^{2}m}$ 或E=$\frac{2qh{B}^{2}}{{π}^{2}m}$                                
答：（1）粒子在圆管内运动的速率$\frac{\sqrt{3}qBr}{m}$；
（2）粒子从M板处释放到再次回到M板的时间$\frac{8\sqrt{3}md}{3qBr}$+$\frac{πm}{qB}$；
（3）若在整个圆管内再加上一个竖直向下的匀强电场，并适当调整MN极板间的电压，可使粒子在管内与管壁发生三次弹性碰撞后从P₂孔飞出，求电场强度大小E的可能值$\frac{2qh{B}^{2}}{9{π}^{2}m}$ 或$\frac{2qh{B}^{2}}{{π}^{2}m}$．

点评 考查粒子在电场中加速，在磁场中偏转，掌握牛顿第二定律与运动学公式的应用，理解半径与周期公式，注意会画出运动轨迹是解题的关键．