Question

18．如图所示，用密度为d、电阻率为ρ、横截面积为A的粗金属丝制成边长为 L的闭合正方形框abb′a′，金属方框水平放在磁极的狭缝间，方框平面与磁场方向平行，如图1、图2所示．设匀强磁场仅存在于相对磁极之间，其它地方的磁场忽略不计．可认为方框的aa′边和 bb′边都处在磁极间，极间磁感应强度大小为B．方框从静止开始释放，其平面在下落过程中保持水平（不计空气阻力）．假设磁场区域在竖直方向足够长，试求：

（1）方框下落的速度为v时的电功率
（2）方框下落的最终速度
（3）当下落高度h时，方框速度达到最大，从开始下落到速度达到最大过程方框消耗的电能．

Answer 1

分析 （1）根据切割产生的感应电动势，抓住切割的有效长度求出感应电动势的大小，通过闭合电路欧姆定律求出电流的大小，从而求出方框下落的速度为v时的电功率．
（2）当重力等于安培力时，速度最大，根据平衡，结合切割产生的感应电动势公式、闭合电路欧姆定律以及安培力大小公式求出最终的速度大小．
（3）根据能量守恒定律，即可求解．

解答 解：（1）由题意知，方框所在处在磁感应强度为B；当环速度为v时，切割磁感线产生的电动势为：
E=2BLv；
电流为：I=$\frac{E}{\frac{ρ•4L}{A}}$=$\frac{EA}{4ρL}$
电功率为：P=I²R_电=（$\frac{EA}{4ρL}$）²×$\frac{ρ•4L}{A}$=$\frac{{E}^{2}A}{4ρL}$=$\frac{{B}^{2}LA{v}^{2}}{ρ}$
（2）当方框加速度为零时，有最大速度v_m
此时有：F_安=2BIL=B×$\frac{2BL{v}_{m}}{ρ\frac{4L}{A}}×L$=$\frac{{B}^{2}LA{v}_{m}}{2ρ}$
由平衡条件有：mg=F_安
又m=dLA
联立上式，解得：v_m=$\frac{2ρdg}{{B}^{2}}$
（3）由能量守恒定律：
mgh=$\frac{1}{2}$mv_m²+Q
解得：Q=mgh-$\frac{1}{2}$mv_m²=dLA（gh-$\frac{2{ρ}^{2}{d}^{2}{g}^{2}}{{B}^{4}}$）；
答：（1）方框下落的速度为v时的电功率$\frac{{B}^{2}LA{v}^{2}}{ρ}$；
（2）方框下落的最终速度$\frac{2ρdg}{{B}^{2}}$；
（3）从开始下落到速度达到最大过程方框消耗的电能dLA（gh-$\frac{2{ρ}^{2}{d}^{2}{g}^{2}}{{B}^{4}}$）．

点评 本题考查电磁感应与力学以及能量的综合，掌握切割产生的感应电动势公式、闭合电路欧姆定律等知识，知道当重力等于安培力时，速度最大．