Question

3．如图甲所示，ABCD为固定在水平面内的闭合轨道，其中 AB、CD段均为半径1.6m的半圆轨道，BC、AD段为直轨道，AD=BC=5m．AD段粗糙，动摩擦因数为0.2，其余各段均光滑．有一质量为0.2kg可视为质点的小物体卡在轨道上，沿着轨道运动，其截面图如图乙所示．小物体经过DA段时会受到一个方向竖直向上，大小随速度如图丙规律变化的力作用；小物体经过BC段时会受到一个方向沿轨道向右，大小恒为0.4N的F₂作用．现使小物体在D点以4m/s的初速度向左运动，发现小物体恰好能匀速运动到A点．g取10m/s²．求：

（1）小物体第一次经过圆弧AB段的向心加速度大小；
（2）小物体第一次运动到C点时速度大小；
（3）若要小物体每次经过D点的速度都相同，则在D至少要获得多大的初速度．

Answer 1

分析 （1）小物体在AB段做圆周运动，已知线速度和半径，由公式a=$\frac{{v}^{2}}{R}$求向心加速度大小．
（2）由动能定理可求得第一次到达D点的速度或由牛顿第二定律和速度位移公式结合求解．
（3）对物体的运动过程进行分析，根据牛顿第二定律和运动学公式可求得D点的最小初速度．

解答 解：（1）小物体第一次经过圆弧AB段的向心加速度大小 a₁=$\frac{{v}^{2}}{R}$解得 a₁=10m/s²
（2）物体在BC段运动的加速度 a₂=$\frac{{F}_{2}}{m}$=2m/s²
由v_C²-v_B²=2a₂x_BC得
 v_C=6m/s          
（3）当物体速度大小为4m/s时，物体做匀速运动，则 F₁=mg=2N       
由题意可知：D到A减速，B到C加速，若要小物体每次经过D点的速度都相同，则两段加速度大小相等．
即 a₃=a₁=2m/s²
由牛顿第二定律得 μ（F₁-mg）=ma₃   
得 F₁=4N
由图可得：F₁=4N时，v=8m/s
当物体速度大于等于8m/s后，F₁保持不变．则要实现小物体每次经过D点的速度都相同，在A点速度至少要达到8m/s                    
  v_D²-v_A²=2a₃x_DA    
解得 v_D=2$\sqrt{21}$m/s
即物体在D点获得速度至少要达到2$\sqrt{21}$m/s    
答：
（1）小物体第一次经过圆弧AB段的向心加速度大小是10m/s²；
（2）小物体第一次运动到C点时速度大小是6m/s；
（3）若要小物体每次经过D点的速度都相同，则在D至少要获得2$\sqrt{21}$m/s的初速度．

点评 本题是牛顿第二定律和运动学公式的综合运用，关键理清物体的运动过程，选择合适的规律进行求解．也可以运用动能定理研究．