题目内容
雨滴在穿过云层的过程中，不断与漂浮在云层中的小水珠相遇并结合为一体，其质量逐渐增大．现将上述过程简化为沿竖直方向的一系列碰撞．已知雨滴的初始质量为m，初速度为v，下降距离l后与静止的小水珠碰撞且合并，质量变为m1．此后每经过同样的距离l后，雨滴均与静止的小水珠碰撞且合并，质量依次变为m2、m3…mn…（设各质量为已知量）．不计空气阻力．（1）若不计重力，求第n次碰撞后雨滴的速度vn；
（2）若考虑重力的影响，a．求第1次碰撞前、后雨滴的速度v1和vn′；b．求第n次碰撞后雨滴的动能
．
【答案】分析：（1）雨滴的初始质量为m，初速度为v，下降距离L后与静止的小水珠碰撞且合并，质量变为m1，此过程如果不计重力的影响则动量守恒，列出动量守恒的方程可求n次碰撞后雨滴的速度．
（2）a、考虑重力的影响，雨滴下落过程中做加速度为g的匀加速运动，但是碰撞瞬间动量仍然守恒，则碰撞前在位移为L的过程中匀加速直线运动，碰撞后的速度由碰撞瞬间动量守恒求得；
b、由前两次过程计算碰后的速度，归纳总结出通项式，表示出n次碰撞后速度，动能可求．
解答：解：（1）不计重力，全过程动量守恒，
mv=mnvn
得：
（2）考虑重力的影响，雨滴下落过程中做加速度为g的匀加速运动，碰撞瞬间动量守恒，
a、第一次碰撞前
，
第一次碰撞后 mv1=m1Vn′
…①
b、第2次碰撞前
利用①式化简得：
…②
第2次碰撞后，利用②式得：
同理第三次碰撞后：
以此类推…
第n次碰撞后：
动能为：
答：（1）第n次碰撞后雨滴的速度
（2）a、第1次碰撞前、后雨滴的速度分别为
、
b、第n次碰撞后雨滴的动能
点评：物理计算题中涉及n次过程重复出现的题目，往往需要不完全归纳的方法得出通项式，本题中雨滴的n次碰撞后的速度就是典型的例子．这是一道比较困难的好题．
（2）a、考虑重力的影响，雨滴下落过程中做加速度为g的匀加速运动，但是碰撞瞬间动量仍然守恒，则碰撞前在位移为L的过程中匀加速直线运动，碰撞后的速度由碰撞瞬间动量守恒求得；
b、由前两次过程计算碰后的速度，归纳总结出通项式，表示出n次碰撞后速度，动能可求．
解答：解：（1）不计重力，全过程动量守恒，
mv=mnvn
得：
（2）考虑重力的影响，雨滴下落过程中做加速度为g的匀加速运动，碰撞瞬间动量守恒，
a、第一次碰撞前
，第一次碰撞后 mv1=m1Vn′
…①b、第2次碰撞前
利用①式化简得：
…②第2次碰撞后，利用②式得：
同理第三次碰撞后：
以此类推…
第n次碰撞后：
动能为：
答：（1）第n次碰撞后雨滴的速度
（2）a、第1次碰撞前、后雨滴的速度分别为
、b、第n次碰撞后雨滴的动能
点评：物理计算题中涉及n次过程重复出现的题目，往往需要不完全归纳的方法得出通项式，本题中雨滴的n次碰撞后的速度就是典型的例子．这是一道比较困难的好题．
练习册系列答案
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vn′2；
，初速度为
，下降距离
后与静止的小水珠碰撞且合并，质量变为
。此后每经过同样的距离
、
．．．．．．
（设各质量为已知量）。不计空气阻力。
次碰撞后雨滴的速度
；
和
；
；