题目内容
雨滴在穿过云层的过程中,不断与漂浮在云层中的小水珠相遇并结合为一体,其质量逐渐增大.现将上述过程简化为沿竖直方向的一系列碰撞.已知雨滴的初始质量为m0,初速度为v0,下降距离l后与静止的小水珠碰撞且合并,质量变为m1.此后每经过同样的距离l后,雨滴均与静止的小水珠碰撞且合并,质量依次变为m2、m3…mn…(设各质量为已知量).不计空气阻力.
(1)若不计重力,求第n次碰撞后雨滴的速度vn;
(2)若考虑重力的影响,a.求第1次碰撞前、后雨滴的速度v1和vn′;b.求第n次碰撞后雨滴的动能
mnv
.
(1)若不计重力,求第n次碰撞后雨滴的速度vn;
(2)若考虑重力的影响,a.求第1次碰撞前、后雨滴的速度v1和vn′;b.求第n次碰撞后雨滴的动能
1 |
2 |
′ | 2 n |
分析:(1)雨滴的初始质量为m0,初速度为v0,下降距离L后与静止的小水珠碰撞且合并,质量变为m1,此过程如果不计重力的影响则动量守恒,列出动量守恒的方程可求n次碰撞后雨滴的速度.
(2)a、考虑重力的影响,雨滴下落过程中做加速度为g的匀加速运动,但是碰撞瞬间动量仍然守恒,则碰撞前在位移为L的过程中匀加速直线运动,碰撞后的速度由碰撞瞬间动量守恒求得;
b、由前两次过程计算碰后的速度,归纳总结出通项式,表示出n次碰撞后速度,动能可求.
(2)a、考虑重力的影响,雨滴下落过程中做加速度为g的匀加速运动,但是碰撞瞬间动量仍然守恒,则碰撞前在位移为L的过程中匀加速直线运动,碰撞后的速度由碰撞瞬间动量守恒求得;
b、由前两次过程计算碰后的速度,归纳总结出通项式,表示出n次碰撞后速度,动能可求.
解答:解:(1)不计重力,全过程动量守恒,
m0v0=mnvn
得:vn=
v0
(2)考虑重力的影响,雨滴下落过程中做加速度为g的匀加速运动,碰撞瞬间动量守恒,
a、第一次碰撞前 v12=v02+2gL,V1=
第一次碰撞后 m0v1=m1Vn′
Vn′=
v1=
…①
b、第2次碰撞前 v22=v′12+2gL
利用①式化简得:v22=(
)2 v02+(
)2gL…②
第2次碰撞后,利用②式得:v′22=(
)2v22=(
)2v02+(
)2gL
同理第三次碰撞后:v′32 =(
)2v02+(
)2gL
以此类推…
第n次碰撞后:v′n2=(
)2v02+(
) 2gL
动能为:
mnv′n2=
(m02v02+2gL
mi2)
答:(1)第n次碰撞后雨滴的速度vn=
v0
(2)a、第1次碰撞前、后雨滴的速度分别为V1=
、Vn′=
b、第n次碰撞后雨滴的动能
mnv′n2=
(m02v02+2gL
mi2)
m0v0=mnvn
得:vn=
m0 |
mn |
(2)考虑重力的影响,雨滴下落过程中做加速度为g的匀加速运动,碰撞瞬间动量守恒,
a、第一次碰撞前 v12=v02+2gL,V1=
V02+2gL |
第一次碰撞后 m0v1=m1Vn′
Vn′=
m0 |
m1 |
m0 |
m1 |
v02+2gL |
b、第2次碰撞前 v22=v′12+2gL
利用①式化简得:v22=(
m0 |
m1 |
m02+m12 |
m12 |
第2次碰撞后,利用②式得:v′22=(
m1 |
m2 |
m0 |
m2 |
m02+m12 |
m2 2 |
同理第三次碰撞后:v′32 =(
m0 |
m3 |
m02+m12+m22 |
m32 |
以此类推…
第n次碰撞后:v′n2=(
m0 |
mn |
| |||
mn2 |
动能为:
1 |
2 |
1 |
2mn |
i=n |
![]() |
i=0 |
答:(1)第n次碰撞后雨滴的速度vn=
m0 |
mn |
(2)a、第1次碰撞前、后雨滴的速度分别为V1=
V02+2gL |
m0 |
m1 |
v02+2gL |
b、第n次碰撞后雨滴的动能
1 |
2 |
1 |
2mn |
i=n |
![]() |
i=0 |
点评:物理计算题中涉及n次过程重复出现的题目,往往需要不完全归纳的方法得出通项式,本题中雨滴的n次碰撞后的速度就是典型的例子.这是一道比较困难的好题.

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