Question

13．如图所示，在倾角α=30°的光滑斜面顶端，固定一原长L₀=0.2m的轻质弹簧，弹簧另一端与放在光滑斜面上质量m=2kg的物体C相连后，弹簧的长度变为L₁=0.25m．斜面体与物体C一起可以绕过斜面顶点的竖直轴AB转动，取重力加速度g=10m/s²，π²=10．（结果均保留2位有效数字）
（1）当转速n₀=60r/min时，求弹簧的长度L₂．
（2）当物体C对斜面恰好无压力时，求物体转动的角速度ω．

Answer 1

分析 先求出弹簧的劲度系数，当物体C对斜面C恰无压力时，C只受重力和弹簧弹力，合力提供C做匀速圆周运动的向心力，对物体受力分析，根据平衡条件及向心力公式求解此时的角速度，从而判断当转速n₀=60r/min时，物体与斜面是否有压力，再对物体受力分析，根据平衡条件及向心力公式求解此时的弹簧的长度L₂．

解答 解：（1）弹簧与C相连后，C处于静止状态，则有：
k△x=mgsin30°
解得：k=$\frac{20×\frac{1}{2}}{（0.25-0.2）}=200N/m$
物体C对斜面C恰无压力时，设弹簧形变量为x，物体绕AB轴做圆周运动的半径为r₁=（L₀+x）cosα    
对物体，在水平方向，有F₁cosα=m（2πn）²r₁   
在竖直方向，有F₁sinα=mg       
弹簧弹力F₁=kx          
解得：x=0.2m    n=1.13r/s，
则角速度ω=2πn=7.10rad/s
此时转速n₀=60r/min=1r/s，则此时物体没有脱离斜面，弹簧长度为L₂，
物体做圆周运动的半径为r₂=L₂cosα，
对物体，在水平方向，有F₂cosα-F_Nsinα=m（2πn₀）²r₂   
在竖直方向，有F₂sinα+F_Ncosα=mg     
弹簧弹力F₂=k（L₂-L₀）    
解得：L₂=0.36m
（2）由上分析可知，当物体C对斜面恰好无压力时，则物体转动的角速度7.10rad/s
答：（1）当转速n₀=60r/min时，求弹簧的长度L₂为0.36m；
（2）当物体C对斜面恰好无压力时，求物体转动的角速度ω为7.10rad/s．

点评 本题解题的关键是能正确对物体进行受力分析，找出提供向心力的合外力，能根据平衡条件结合向心力公式求解，注意几何关系在解题过程中的应用，难度适中．