题目内容
如图所示，两根相距为d足够长的平行光滑金属导轨位于水平的xoy平面内，导轨与x轴平行，一端接有阻值为R的电阻．在x＞0的一侧存在竖直向下的匀强磁场，一电阻为r的金属直杆与金属导轨垂直放置，并可在导轨上滑动．开始时，金属直杆位于x=0处，现给金属杆一大小为v0、方向沿x轴正方向的初速度．在运动过程中有一大小可调节的平行于x轴的外力F作用在金属杆上，使金属杆保持大小为a、方向沿x轴负方向的恒定加速度运动．金属轨道电阻可忽略不计．
求：
（1）金属杆减速过程中到达x=x0处位置时金属杆的感应电动势E；
（2）回路中感应电流方向发生改变时，金属杆在轨道上的位置；
（3）若金属杆质量为m，请推导出外力F随金属杆在x轴上的位置（x）变化关系的表达式．
求：
（1）金属杆减速过程中到达x=x0处位置时金属杆的感应电动势E；
（2）回路中感应电流方向发生改变时，金属杆在轨道上的位置；
（3）若金属杆质量为m，请推导出外力F随金属杆在x轴上的位置（x）变化关系的表达式．
（1）设金属杆到达x0处时，其速度为v1，由运动学公式
-
=-2ax0
解得：v1=
故金属杆的感应电动势为 E=Bdv1=Bd
（2）当金属杆的速度减小到零时，回路中感应电流方向改变，设此时金属杆的位置为xm
由运动学公式得
=2axm
解得 xm=
（3）在金属杆沿x轴正方向运动的过程中，设金属杆到达x处时，速度大小为v，则
v=
金属杆的感应电动势为E=Bdv
回路中的感应电流为I=
金属杆受到的安培力为FA=BId，方向为x轴负方向
设x负方向为正方向，由牛顿第二定律得 F+FA=ma
外力F随金属杆的位置x变化的关系为：F=ma-
在金属杆沿x轴负方向运动的过程中，设金属杆到达x处时，速度大小为v，根据匀变速直线运动的对称性可知，v=
同理，此金属杆的感应电动势为E=Bdv，
金属杆所受的安培力为：FA=BId=
，方向为x轴正方向
设负x方向为正方向，由牛顿第二定律F-FA=ma
外力F随金属杆位置x变化的关系为：F=ma+
答：
（1）金属杆减速过程中到达x=x0处位置时金属杆的感应电动势E为Bd
；
（2）回路中感应电流方向发生改变时，金属杆在轨道上的位置为
；
（3）若金属杆质量为m，外力F随金属杆在x轴上的位置（x）变化关系的表达式为：
在金属杆沿x轴正方向运动的过程中，F=ma-
；在金属杆沿x轴负方向运动的过程中，F=ma+
．
| v | 21 |
| v | 20 |
解得：v1=
|
故金属杆的感应电动势为 E=Bdv1=Bd
|
（2）当金属杆的速度减小到零时，回路中感应电流方向改变，设此时金属杆的位置为xm
由运动学公式得
| v | 20 |
解得 xm=
| ||
| 2a |
（3）在金属杆沿x轴正方向运动的过程中，设金属杆到达x处时，速度大小为v，则
v=
|
金属杆的感应电动势为E=Bdv
回路中的感应电流为I=
| E |
| R+r |
金属杆受到的安培力为FA=BId，方向为x轴负方向
设x负方向为正方向，由牛顿第二定律得 F+FA=ma
外力F随金属杆的位置x变化的关系为：F=ma-
B2d2
| ||||
| R+r |
在金属杆沿x轴负方向运动的过程中，设金属杆到达x处时，速度大小为v，根据匀变速直线运动的对称性可知，v=
|
同理，此金属杆的感应电动势为E=Bdv，
金属杆所受的安培力为：FA=BId=
B2d2
| ||||
| R+r |
设负x方向为正方向，由牛顿第二定律F-FA=ma
外力F随金属杆位置x变化的关系为：F=ma+
B2d2
| ||||
| R+r |
答：
（1）金属杆减速过程中到达x=x0处位置时金属杆的感应电动势E为Bd
|
（2）回路中感应电流方向发生改变时，金属杆在轨道上的位置为
| ||
| 2a |
（3）若金属杆质量为m，外力F随金属杆在x轴上的位置（x）变化关系的表达式为：
在金属杆沿x轴正方向运动的过程中，F=ma-
B2d2
| ||||
| R+r |
B2d2
| ||||
| R+r |
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