Question

18．如图所示，在平面坐标系的第I象限内，直线OP与x轴正向的夹角θ为$\frac{π}{4}$，OP与y轴之间存在垂直于坐标平面向外的，磁感应强度大小为B的匀强磁场；OP与x轴之间有方向沿x轴负方向的匀强电场．一质量为m、电荷量为q的带正电粒子（粒子重力不计），从原点O沿y轴正方向以速度v₀射入磁场，从x轴上某处沿与x轴负向成$\frac{π}{4}$角的方向离开第I象限．求：
（1）粒子的运动轨迹与OP的交点坐标．
（2）电场强度的大小．
（3）粒子在第I象限内运动的时间．
（4）若只在第Ⅳ象限中适当区域加一方向垂直坐标平面，磁感应强度为2B的圆形匀强磁场，使粒子能再次经过坐标原点O且与y轴正向夹角为$\frac{π}{4}$进入第Ⅱ象限．试计算所加磁场的最小面积是多少？

Answer 1

分析 （1）根据左手定则可得．粒子在磁场中向右偏转，由圆周运动的对称性可得，粒子将沿水平方向进入电场，然后减速到0，再加速运动，从进入点再次进入磁场区域，经过一段时间后第二次进入电场区域，画出运动的轨迹，结合洛伦兹力提供向心力放电方程即可求出坐标；
（2）粒子在第二次进入电场后做平抛运动，将运动分解，即可求出电场强度；
（3）分别求出粒子在电场中运动的时间与在磁场中运动的时间即可．
（4）用矢量分解与合成的方法求出粒子进入第四象限的速度，结合半径公式、轨迹图与几何关系即可求解．

解答 解：（1）根据左手定则可得．粒子在磁场中向右偏转，由圆周运动的对称性可得，粒子将沿水平方向进入电场，然后减速到0，再加速运动，从进入点再次进入磁场区域，经过一段时间后第二次进入电场区域，画出运动的轨迹如图：

由几何关系知，从O到A为$\frac{1}{4}$圆周，从A到C速度匀减速到0，再反向加速到A，从A经$\frac{3}{4}$圆周到D，后垂直电场方向进入电场，做类平抛运动，由几何关系知粒子运动与OP的交点坐标为：A（R，R）；D（2R，2R）
由洛伦兹力提供向心力得：$qvB=\frac{m{v}_{0}^{2}}{R}$
得：$R=\frac{m{v}_{0}}{qB}$
所以：交点坐标为：A（$\frac{m{v}_{0}}{qB}$，$\frac{m{v}_{0}}{qB}$）；D（$\frac{2m{v}_{0}}{qB}$，$\frac{2m{v}_{0}}{qB}$）
（2）粒子第二次进入电场后做平抛运动，竖直方向：2R=v₀t₃
得：${t}_{3}=\frac{2R}{{v}_{0}}=\frac{2m}{qB}$
从x轴上某处沿与x轴负向成$\frac{π}{4}$角的方向离开第一象限，得：$tan45°=\frac{{v}_{0}}{{v}_{y}}$
得：v_y=v₀
又：${v}_{y}=a{t}_{3}=\frac{qE}{m}•\frac{2m}{qB}$=$\frac{2E}{B}$
解得：$E=\frac{1}{2}B{v}_{0}$
（3）由图可得，粒子在磁场中运动的时间刚刚是一个周期，所以粒子在磁场中运动的时间：${t}_{1}=T=\frac{2πm}{qB}$
粒子在电场中做直线往返运动的时间：${t}_{2}=\frac{2{v}_{0}}{a}$
粒子在第一象限运动的总时间：t=t₁+t₂+t₃联立解得：$t=2（π+3）\frac{m}{qB}$
（4）粒子进入第四象限时的速度大小：$v=\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}=\sqrt{2}{v}_{0}$

在圆形磁场的区域中运动：$qv（2B）=\frac{m{v}^{2}}{R′}$
穿越磁场的过程中，速度的方向改变$\frac{π}{2}$，由几何关系知，所甲磁场的最小圆形区域的直径为：$d=\sqrt{2}R′$
则最小面积：$s=π（\frac{d}{2}）^{2}$
整理得：$S=\frac{π{m}^{2}{v}_{0}^{2}}{4{q}^{2}{B}^{2}}$
答：（1）粒子的运动轨迹与OP的交点坐标分别是A（$\frac{m{v}_{0}}{qB}$，$\frac{m{v}_{0}}{qB}$）；D（$\frac{2m{v}_{0}}{qB}$，$\frac{2m{v}_{0}}{qB}$）．
（2）电场强度的大小是$\frac{1}{2}B{v}_{0}$．
（3）粒子在第I象限内运动的时间是$2（π+3）\frac{m}{qB}$．
（4）若只在第Ⅳ象限中适当区域加一方向垂直坐标平面，磁感应强度为2B的圆形匀强磁场，使粒子能再次经过坐标原点O且与y轴正向夹角为$\frac{π}{4}$进入第Ⅱ象限．所加磁场的最小面积是$\frac{π{m}^{2}{v}_{0}^{2}}{4{q}^{2}{B}^{2}}$．

点评 考查带电粒子做匀速圆周运动与类平抛运动中，用牛顿第二定律与运动学公式，并结合几何关系来处理这两种运动，强调运动的分解，并突出准确的运动轨迹图．