Question

4．如图，固定在水平桌面上的“∠”型平行导轨足够长，间距L=1m，电阻不计．倾斜导轨的倾角θ=53°，并与R=2Ω的定值电阻相连．整个导轨置于磁感应强度B=5T、方向垂直倾斜导轨平面向上的匀强磁场中．金属棒ab、cd的阻值为R₁=R₂=2Ω，ab棒、cd棒的质量分别是m₁=2.5kg，m₂=1kg．ab与导轨间摩擦不计，cd与导轨间的动摩擦因数μ=0.3，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力．现让ab棒从导轨上某处由静止释放，当它滑至某一位置时，cd棒恰好开始滑动．（cos53°=0.6，sin53°=0.8，g=10m/s²）
（1）求此时通过ab棒的电流大小及方向；
（2）若这段时间内电阻R产生的焦耳热Q=2J，求ab棒下滑的距离；
（3）若ab棒无论从多高的位置释放，cd棒都不动，则ab棒质量应小于多少？

Answer 1

分析 （1）根据右手定则判断出ab棒产生的感应电流方向，确定出cd棒中感应电流方向，分析cd棒的受力情况，由平衡条件求解电流．
（2）根据题意画出等效电路如图所示：电阻R与cd棒并联，分析各部分电流关系，由功率公式关系即可求解ab棒下滑的距离．
（3）抓住ab棒匀速运动，cd棒都未滑动，分别对ab棒和cd棒分析，抓住cd棒安培力在水平方向上的分力小于最大静摩擦力，求出ab棒质量满足的条件．

解答 解：（1）ab棒沿斜面滑下切割磁感线产生的感应电流的方向是b→a，
通过cd棒的电流方向如图c→d．cd棒刚要开始滑动时，其受力图如图所示．

由平衡条件得：BI_cdLcos53°=f
由摩擦力公式得：f=μN
其中N=m₂g+BI_cdLsin53°
联立以上三式，得I_cd=$\frac{10}{6}$A，I_ab=2I_cd=$\frac{10}{3}$A
（2）由等效电路知：R_总=R₁+R_并=2+1=3Ω
由${I_{ab}}=\frac{BLv}{R_总}$得此时ab棒的速度v=2m/s
由Q=I²Rt，知  Q_总=6Q=12J
由动能定理得，${m_1}gssinθ-{W_安}=\frac{1}{2}{m_1}{v^2}$，
其中 W_安=Q_总
得    s=1.13m 
（3）ab棒在足够长的轨道下滑时，最大安培力只能等于自身重力的分力，有：F_A=m_abgsin53°
cd棒所受最大安培力应为$\frac{1}{2}{F_A}$，
要使cd棒不能滑动，需：$\frac{1}{2}{F_A}cos53°≤μ（{{m_2}g+\frac{1}{2}{F_A}sin53°}）$
由以上两式联立解得：m_ab≤2.08kg
答：（1）此时通过ab棒的电流大小$\frac{10}{3}$A，方向是b→a；
（2）若这段时间内电阻R产生的焦耳热Q=2J，ab棒下滑的距离是1.13m；
（3）若ab棒无论从多高的位置释放，cd棒都不动，则ab棒质量应小于2.08kg．

点评 本题是复杂的电磁感应现象，是电磁感应与力学知识、电路的综合，要能够正确地受力分析，抓住临界情况，结合共点力平衡和能量守恒进行求解．