Question

16．如图所示，有一截面是直角三角形的棱镜ABC，∠A=30°．它对红光的折射率为n₁．对紫光的折射率为n₂．在距AC边d₂处有一与AC平行的光屏．现有由以上两种色光组成的很细的光束垂直AB边上的P点射入棱镜，其中PA的长度为d₁．
（i）为了使紫光能从AC面射出棱镜，n₂应满足什么条件？
（ii）若两种光都能从AC面射出，求两种光从P点到传播到光屏MN上的时间差．

Answer 1

分析 （1）由几何知识得到，紫光射到AC面上的入射角i₁=30°，要使红光能从AC面射出棱镜，必须使i₁＜C，而sinC=$\frac{1}{n}$求n₂应满足的条件．
（2）根据折射定律分别求出两种光从AC面射出时的折射角，再由几何知识和运动学公式结合求解．

解答 解：（ i）由题意可知临界角为：C＞30°  
而sinC=$\frac{1}{{n}_{2}}$      
联立解得：n₂＜2
（ ii）两种光在棱镜中的路程相同，均为：x=d₁tan30°  
两种光在棱镜中传播的时间差为：△t₁=$\frac{x}{\frac{c}{{n}_{2}}}$-$\frac{x}{\frac{c}{{n}_{1}}}$
红光在棱镜AC面上发生折射时有：n₁=$\frac{sin{r}_{1}}{sin30°}$
紫光在棱镜AC面上发生折射时有：n₂=$\frac{sin{r}_{2}}{sin30°}$
两种光在空气中传播的时间差为：△t₂=$\frac{\frac{d}{cos{r}_{2}}}{c}$-$\frac{\frac{d}{cos{r}_{1}}}{c}$
因而两种光传播的时间差为：△t=△t₁+△t₂=$\frac{\sqrt{3}{d}_{1}（{n}_{2}-{n}_{1}）}{3c}$+$\frac{2{d}_{2}}{c}（\frac{1}{\sqrt{4-{n}_{2}^{2}}}$-$\frac{1}{\sqrt{4-{n}_{1}^{2}}}）$
答：（1）为了使紫光能从AC面射出棱镜，n₁应满足的条件是n₂＜2；
（2）两种光从P点到传播到光屏MN上的时间差为$\frac{\sqrt{3}{d}_{1}（{n}_{2}-{n}_{1}）}{3c}$+$\frac{2{d}_{2}}{c}（\frac{1}{\sqrt{4-{n}_{2}^{2}}}$-$\frac{1}{\sqrt{4-{n}_{1}^{2}}}）$．

点评 本题考查光在介质中速度、全反射及折射定律的综合应用，中等难度．对于折射定律的应用，关键是作出光路图．