Question

3．一半径为R的$\frac{1}{4}$圆柱体放置在水平面上，圆柱体由折射率为$\sqrt{3}$的透明材料制成．现有一束光线垂直于右侧面且平行于桌面射到圆柱体表面上，折射入圆柱体后再从右侧表面射出，如图所示：已知入射光线与桌面的距离为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$R，试作出相应的光路图，并求从右侧面射出的光线打在桌面上形成的光斑与圆心O的距离．

Answer 1

分析 当光从图示位置射入，经过二次折射后射出球体，先由几何知识求出在A点的入射角，由折射定律可求出A点的折射角，由几何关系得到AB细光束在OB表面上的入射角．
根据折射定律求出光线在B点的折射角，再由几何关系求解O与光斑C之间的距离．

解答 解：（1）设入射点为A，出射点为B，射到桌面上的点为C；连接OA，OA即为入射点的法线．因此，图中的角α为入射角．求出折射角，找出出射点；然后再次利用折射定律求出出射光的方向，从而画出光路图如图；
（2）过A点作球体水平表面的垂线，垂足为D．
依题意，∠AOD=α．又由直角△ADO知
  sinα=$\frac{\overline{AD}}{R}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，所以：α=60°   ①
设光线在A点的折射角为β，由折射定律得 $\frac{sinα}{sinβ}=\sqrt{3}$ ②
由①②式得 β=30°③
由几何关系知，AB光线在OB表面上的入射角   i=30°   ④
由折射定律得 $\frac{sini}{sinr}=\frac{1}{{\sqrt{3}}}$ ⑤
由④、⑤式，解得r=60°，因此 θ=30°   ⑥
由等腰三角形△ABO知，$OB=\frac{R}{{\sqrt{3}}}$⑦
由直角△BOC知，OC=OB•tanθ ⑧
由⑥、⑦、⑧式，解得 $OC=\frac{R}{3}$
答：光路图如图，右侧面射出的光线打在桌面上形成的光斑与圆心O的距离是$\frac{1}{3}R$

点评 光线从球体入射时，法线则是入射点与球心的连线；当光线射出时，法线则与界面垂直．因此两次使用折射定律可求出结果．