Question

4．如图所示，从高为h的M点水平抛出一物体，其水平射程为2x；在M点正上方高为2h的N点沿同方向水平抛出另一物体，其水平射程为x．两物体的轨迹在同一竖直面内，且都从同一个屏P的顶端擦过．从M、N两点抛出的两物体，不计空气阻力，求：
（1）P屏的高度，
（2）由抛出到P屏顶端的时间差．

Answer 1

分析 （1）根据平抛运动的高度得出平抛运动的时间，结合水平位移之比求出平抛运动的初速度之比，分别对物体从抛出到屏的最高点的过程研究，运用平抛运动的规律求出P屏的高度．
（2）根据下降的高度分别求出两球抛出到P屏顶端的时间，从而得出时间差．

解答 解：设M处平抛初速度为v_M；N处平抛初速度为v_N．屏P的高度设为h_P，则对两处平抛全程列式，
对M处有v_Mt₁=2x；H=$\frac{1}{2}$gt₁²，
对N处有v_Nt₂=x；2H=$\frac{1}{2}$gt₂²，
综上可消元得$\frac{v_M}{v_N}=\frac{{2\sqrt{2}}}{1}$．
对抛出到屏顶端的平抛过程列式
对M处有v_Mt₃=x′；2h-h_P=$\frac{1}{2}$gt₃²
对N处有v_Nt₄=x′；2h-h_P=$\frac{1}{2}$gt₄²；
综上可消元解得h_P=$\frac{6h}{7}$．
对N，抛出点到屏的高度差为h_N=$\frac{8h}{7}$，
对M，抛出点到屏的高度差h_M=$\frac{h}{7}$．
则时间差△t=$\sqrt{\frac{{2{h_N}}}{g}}-\sqrt{\frac{{2{h_M}}}{g}}=（4-\sqrt{2}）\sqrt{\frac{h}{7g}}$．
答：（1）P屏的高度为$\frac{6h}{7}$．
（2）由抛出到P屏顶端的时间差为$（4-\sqrt{2}）\sqrt{\frac{h}{7g}}$．

点评 解决本题的关键知道平抛运动在水平方向和竖直方向上的运动规律，结合运动学公式灵活求解，难度中等．