Question

8．一足够长的矩形区域abcd内充满磁感应强度为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，矩形区域的左边界ad长为L，现从ad中点O垂直于磁场射入一速度方向与ad边夹角为30°、大小为v₀的带正电粒子，如图所示，已知粒子电荷量为q，质量为m（重力不计）．若要求粒子能从ab边射出磁场，v₀应满足什么条件？

Answer 1

分析 画出粒子轨迹与cd边相切和与ab边相切的临界情况图，根据几何关系列式求解半径，确定从磁场边界ab射出时，v₀应满足的条件

解答 解：当粒子轨迹恰好与cd边相切时是粒子能从ab边射出磁场区域时轨迹圆半径最大的情况，设此半径为${R}_{1}^{\;}$，如图甲所示，

根据几何关系，则有${R}_{1}^{\;}cos60°+\frac{L}{2}={R}_{1}^{\;}$
可得${R}_{1}^{\;}=L$
当粒子轨迹恰好与ab相切时是粒子能从ab边射出磁场区域时轨迹圆半径最小的情况，设此半径为${R}_{2}^{\;}$，如图乙所示，

由几何关系有：${R}_{2}^{\;}sin30°+{R}_{2}^{\;}=\frac{L}{2}$
得${R}_{2}^{\;}=\frac{L}{3}$
故粒子从ab边射出的条件为${R}_{2}^{\;}≤R≤{R}_{1}^{\;}$，即$\frac{L}{3}≤R≤L$
根据洛伦兹力提供向心力，有$q{v}_{0}^{\;}B=m\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
得${v}_{0}^{\;}=\frac{qBR}{m}$
所以$\frac{qBL}{3m}＜{v}_{0}^{\;}≤\frac{qBL}{m}$
答：v₀应满足条件是$\frac{qBL}{3m}＜{v}_{0}^{\;}≤\frac{qBL}{m}$

点评 考查牛顿第二定律的应用，掌握几何关系在题中的运用，注意本题关键是画出正确的运动轨迹．