Question

17．如图所示，真空中有方向垂直纸面向里的匀强磁场和方向沿x轴正方向的匀强电场，当质量为m的带电粒子以速度v沿y轴正方向射入该区域时，恰好能沿y轴做匀速直线运动；若撤去磁场只保留电场，粒子以相同的速度从O点射入，经过一段时间后通过坐标为（L，2L）的b点；若撤去电场，只保留磁场，并在直角坐标系xOy的原点O处放置一粒子源，它能向各个方向发射质量均为m、速度均为v的带电粒子，不计粒子的重力和粒子之间的相互作用力．求：
（1）只保留电场时，粒子从O点运动到b点，电场力所做的功W；
（2）只保留磁场时，粒子源发射的粒子从O点第一次运动到坐标为（0，2L）的a点所用的时间t．

Answer 1

分析 （1）粒子在电场中做类平抛运动，应用类平抛运动规律与功的计算公式可以求出电场力做的功．
（2）粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，应用牛顿第二定律、粒子周期公式求出粒子的运动时间．

解答 解：（1）设粒子的电量为q，匀强电场强度为E，磁感应强度为B．只保留电场时，粒子从O点运动到b点，
有：2L=vt…①qE=ma…②$L=\frac{1}{2}a{t^2}$…③W=qEL…④
联解①②③④得：$W=\frac{1}{2}m{v^2}$…⑤
（2）当电场和磁场同时存在时，有：qvB-qE=0…⑥
若撤去电场保留磁场，则由牛顿定律：$qvB=m\frac{{v_{\;}^2}}{R}$…⑦
联解得：R=2L…⑧
粒子做匀速圆周运动轨迹如图所示的两种情况，
圆心分别为O₁、O₂，易知△O₁aO和△O₂aO均为等边三角形，所以：$θ=\frac{π}{3}$…⑨
粒子从O点第一次到达a点所用的时间分别为：
${t_1}=\frac{θR}{v}=\frac{2πL}{3v}$…⑩${t_2}=\frac{{（{2π-θ}）R}}{v}=\frac{10πR}{3v}$=$\frac{20πL}{3v}$…⑪
答：（1）只保留电场时，粒子从O点运动到b点，电场力所做的功W为$\frac{1}{2}$mv²；
（2）只保留磁场时，粒子源发射的粒子从O点第一次运动到坐标为（0，2L）的a点所用的时间t为$\frac{2πL}{3v}$或$\frac{20πL}{3v}$．

点评 本题考查了粒子做类似平抛运动和匀速圆周运动的基本规律，画出圆周运动的轨迹并结合几何关系列式分析是关键．