Question

11．如图所示，一带电的小球从P点自由下落，P点距场区边界MN高为h，边界MN下方有方向竖直向下、电场场强为E的匀强电场，同时还有匀强磁场，小球从边界上的a点进入电场与磁场的复合场后，恰能作匀速圆周运动，并从边界上的b点穿出，已知ab=L，求：
（1）该匀强磁场的磁感强度B的大小和方向；
（2）小球从P经a至b时，共需时间为多少？

Answer 1

分析 （1）粒子在磁场中做匀速圆周运动，则重力与电场力平衡，则由平衡关系可求得比荷；
由几何关系可得粒子做圆周运动的半径，由牛顿第二定律可求得磁感应强度的大小；
（2）粒子由P到a做自由落体运动，由自由落体规律可求得下落时间；由a到b粒子做圆周运动，由转过的角度可求得转动的时间．

解答 解：（1）由机械能守恒可知：
mgh=$\frac{1}{2}$mv²，解得：v=$\sqrt{2gh}$；
粒子在复合场中做匀速圆周运动，则重力和电场力平衡，洛仑兹力提供做圆周运动的向心力，
重力和电场力平衡，电场力方向向上，电场方向向下，则为负电荷mg=Eq，比荷$\frac{q}{m}$=$\frac{g}{E}$，
粒子由a到b运动半周，由其受力方向根据左手定则可知磁场方向为垂直纸面向外
由牛顿第二定律可知：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，
而由几何关系可知：L=2R
联立可得：B=$\frac{2E\sqrt{2gh}}{gL}$；
（2）由p到a时，h=$\frac{1}{2}$gt₁²，t₁=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$，
复合场中，粒子恰转过了180°，则转动时间：t₂=$\frac{1}{2}$T=$\frac{1}{2}$•$\frac{2πm}{qB}$=$\frac{πm}{qB}$=$\frac{πL}{2\sqrt{2gh}}$，
运动总时间：t=t₁+t₂=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$+$\frac{πL}{2\sqrt{2gh}}$；
答：（1）该匀强磁场的磁感强度B的大小为：$\frac{2E\sqrt{2gh}}{gL}$，方向：垂直于纸面向外；
（2）小球从P经a至b时，共需时间为$\sqrt{\frac{2h}{g}}$+$\frac{πL}{2\sqrt{2gh}}$．

点评 粒子在复合场的运动要注意几种特殊的运动，如粒子做匀速直线运动，则受力平衡；粒子做圆周运动，则重力一定与电场力平衡，洛仑兹力充当向心力．