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20．“嫦娥三号”探月卫星于2013年下半年在西昌卫星发射，实现“落月”的新阶段．“嫦娥三号”探月卫星到了月球附近，以速度v贴近月球表面匀速飞行，测出绕行的周期为T，已知引力常量为G，不计周围其他天体的影响，则下列说法正确的是（　　）
A．“嫦娥三号”探月卫星的半径约为$\frac{vT}{2π}$
B．月球的平均密度约为$\frac{3π}{G{T}^{2}}$
C．“嫦娥三号”探月卫星的质量约为$\frac{{v}^{3}T}{πG}$
D．月球表面的重力加速度约为$\frac{2πv}{T}$

分析 根据万有引力提供向心力$\frac{GMm}{{R}^{2}}=\frac{m{v}^{2}}{R}=\frac{m•4{π}^{2}R}{{T}^{2}}$得出月球的质量，再根据万有引力等于重力$\frac{GMm}{{R}^{2}}=m{g}_{月}$得出月球表面的重力加速度．

解答 解：A、根据$T=\frac{2πr}{v}$，可得月球的半径：$R=\frac{vT}{2π}$．故A正确；
B、根据万有引力提供向心力$\frac{GMm}{{R}^{2}}=\frac{m•4{π}^{2}R}{{T}^{2}}$得出月球的质量$M=\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}$
月球的体积：$V=\frac{4}{3}π{R}^{3}$
月球的密度：$ρ=\frac{M}{V}=\frac{\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}=\frac{3π}{G{T}^{2}}$．故B正确；
C、根据万有引力提供向心力$\frac{GMm}{{R}^{2}}=\frac{m{v}^{2}}{R}=\frac{m•4{π}^{2}R}{{T}^{2}}$可以得出月球的质量，但是不能得出卫星的质量．故C错误；
D、根据万有引力等于重力$\frac{GMm}{{R}^{2}}=m{g}_{月}$得${g}_{月}=\frac{GM}{{R}^{2}}=\frac{G•\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}}{{R}^{2}}$=$\frac{4{π}^{2}R}{{T}^{2}}=\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}•\frac{vT}{2π}=\frac{2πv}{T}$．故D正确．
故选：ABD

点评 解决本题的关键掌握万有引力提供向心力$\frac{GMm}{{R}^{2}}=\frac{m{v}^{2}}{R}=\frac{m•4{π}^{2}R}{{T}^{2}}$，以及万有引力等于月球表面的重力．

练习册系列答案
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