Question

14．如图所示，质量为m=1kg的可视为质点的小物块轻轻放在水平匀速运动的传送带上的P点，随传送带运动到A点后水平抛出，小物块恰好无碰撞的沿圆弧切线从B点进人竖直固定的光滑圆弧轨道下滑，圆弧轨道与质量为M=2kg的足够长的小车左端在最低点O点相切，并在O点滑上静止在光滑水平地面上的小车，当物块运动到障碍物Q处时与Q发生无机械能损失的碰撞，碰撞前物块和小车已经相对静止，而小车可继续向右运动（物块始终在小车上），小车和物块在运动过程中和圆弧无相互作用．已知圆弧半径R=1.0m，圆弧对应的圆心角θ为53°，A、B两点间的高度差h=0.8m，物块与小车间的动摩擦因数为μ=0.1，重力加速度g=10m/s²，sin53°=0.8，cos53°=0.6．试求：
（1）小物块离开A点的水平初速度v₁；
（2）小物块经过O点时对轨道的压力；
（3）第一次碰撞后直至静止，物块相对小车的位移和小车做匀减速运动的总时间．（计算结果用根号表示）

Answer 1

分析 （1）利用平抛运动规律，在B点对速度进行正交分解，得到水平速度和竖直方向速度的关系，而竖直方向速度V_y²=2gh显然易求，则水平速度可解．
（2）首先利用动能定理解决物块在最低点的速度问题，然后利用牛顿第二定律在最低点表示出向心力，则滑块受到的弹力可解．根据牛顿第三定律可求对轨道的压力．
（3）第一次碰撞后，滑块以原速率返回，小车减速，当滑块速度减为零后反向加速度时，小车仍然减速，直到两者速度相同，一起向右；之后重复这个过程，小车与滑块有相对滑动的过程中，小车匀减速；根据功能关系列式求相对路程，根据速度时间关系公式求解小车的减速时间．

解答 解：（1）对小物块由A到B有：V_y²=2gh
在B点：$tanθ=\frac{{v}_{y}}{{v}_{1}}$
解得：v₁=3m/s
（2）由A到O，根据动能定理有：
$\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$=mg（h+R-Rcosθ）
在O点：${F}_{N}-mg=m\frac{{{v}_{0}}^{2}}{R}$
解得：${v}_{0}=\sqrt{33}m/s$，F_N=43N
故压力F′_N=43N
即小物块经过O点时对轨道的压力为43N．
（3）摩擦力f=μmg=1N，物块滑上小车后，滑块减速运动，加速度大小为${a}_{m}=\frac{f}{m}=1m/{s}^{2}$；
小车加速运动，加速度大小为${a}_{M}=\frac{f}{M}=0.5m/{s}^{2}$；
经过时间t达到的共同速度为v_t，则
$\frac{{v}_{t}}{{a}_{M}}=\frac{{v}_{0}-{v}_{t}}{{a}_{m}}$得${v}_{t}=\frac{\sqrt{33}}{3}m/s$
由于碰撞不损失能量，物块在小车上重复做匀减速和匀加速运动，相对小车始终向左运动，与小车最终静止，摩擦力做功使动能全部转化为内能，故有：
$f{s}_{相}=\frac{1}{2}（M+m）{{v}_{t}}^{2}$
得s_相=5.5m
小车从物块碰撞后开始做匀减速运动，（每个减速阶段）加速度a不变，${a}_{M}=\frac{f}{M}=0.5m/{s}^{2}$，v_t=a_Mt，
得t=$\frac{2}{3}\sqrt{33}s$
答：（1）小物块离开A点的水平初速度v₁为3m/s；
（2）小物块经过O点时对轨道的压力为43N；
（3）第一次碰撞后直至静止，物块相对小车的位移为5.5m，小车做匀减速运动的总时间为$\frac{2}{3}\sqrt{33}s$．

点评 本题前两问是一个单物体多过程的力学问题，把复杂的过程分解成几个分过程是基本思路；第三问是一个多过程问题，要分析清楚两个物体的运动情况，然后根据运动学公式和功能关系列式求解．