Question

7．如图所示，一辆质量为500kg的汽车静止在一座半径为40m的圆弧形拱桥顶部（g=10m/s²），求：
（1）此时汽车对圆弧形拱桥的压力是多大？
（2）如果汽车以10m/s的速度经过圆弧形拱桥的顶部，则圆弧形拱桥对汽车的支持力是多大？
（3）汽车以多大速度通过拱桥的顶部时，汽车对圆弧形拱桥的压力恰好为零？
（4）汽车要以多大的速度通过半径为40m凹形桥的底部时，汽车对桥底的压力才为6250N？

Answer 1

分析 （1）当汽车静止时，根据平衡求出支持力的大小，从而得出汽车对圆弧形拱桥的压力大小．
（2）根据牛顿第二定律，抓住重力和支持力的合力提供向心力求出支持力的大小．
（3）当压力为零时，靠重力提供向心力，结合牛顿第二定律求出汽车的速度．
（4）根据牛顿第二定律，抓住支持力和重力的合力提供向心力求出最低点的速度．

解答 解：（1）汽车静止在顶部，有：N=mg=5000N，
根据牛顿第三定律知，汽车对圆弧形拱桥的压力是5000N．
（2）根据牛顿第二定律得，mg-N=$m\frac{{v}^{2}}{R}$，
解得N=$mg-m\frac{{v}^{2}}{R}$=$5000-500×\frac{100}{40}N$=3750N．
（3）根据mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$得，v=$\sqrt{gR}=\sqrt{10×40}m/s=20m/s$．
（4）根据牛顿第二定律得，$N-mg=m\frac{{v}^{2}}{R}$，
代入数据解得v=10m/s．
答：（1）汽车对圆弧形拱桥的压力是5000N；
（2）圆弧形拱桥对汽车的支持力是3750N；
（3）汽车以20m/s的速度通过拱桥的顶部时，汽车对圆弧形拱桥的压力恰好为零；
（4）汽车要以10m/s的速度通过半径为40m凹形桥的底部时，汽车对桥底的压力才为6250N．

点评 解决本题的关键知道汽车做圆周运动向心力的来源，结合牛顿第二定律进行求解，基础题．