Question

11．如图所示，一矩形金属框架与水平面成θ=37°角，宽L=0.4m，上、下两端各有一个电阻R₀=2Ω，框架的其他部分电阻不计，框架足够长，垂直于金属框平面的方向有一向上的匀强磁场，磁感应强度B=1.0T．ab为金属杆，与框架良好接触，其质量m=0.1Kg，杆电阻r=1.0Ω，杆与框架的动摩擦因数μ=0.5．杆由静止开始下滑，在速度达到最大的过程中，上端电阻R₀产生的热量Q₀=0.5J．（sin37°=0.6，cos37°=0.8）求：
（1）当ab杆的速度为v₁=1.25m/s时ab杆的加速度为多少？
（2）求ab杆的最大速度及从开始到速度最大的过程中ab杆沿斜面下滑的距离；
（3）从开始到最大速度的过程中通过上端电阻R₀的电量为多少？

Answer 1

分析 （1）当ab杆的速度为v₁=1.25m/s时，由法拉第电磁感应定律求出感应电动势，由欧姆定律求出感应电流．根据牛顿第二定律和安培力公式求解加速度．
（2）ab杆匀速运动时速度最大，由安培力公式求出安培力，然后由平衡条件求出最大速度．由能量守恒定律求出滑行距离．
（3）求出感应电流的平均值，由电流定义式求出电荷量．

解答 解：（1）当ab杆的速度为v₁时电动势为：E=BLv₁…①
由闭合电路欧姆定律得：
 I=$\frac{E}{r+\frac{1}{2}{R}_{0}}$…②
由牛顿第二定律得
 mgsinaθ-BIL-μmgcosθ=ma…③
联立①②③解之得：a=1m/s²
（2）当ab杆平衡时达到最大速度，由此得：
 BI_mL+μmgcosθ=mgsinaθ …④
${I_m}=\frac{（sinθ-μcosθ）mg}{BL}=\frac{（0.6-0.5×0.8）}{1.0×0.4}A=0.5A$…⑤
流过R₀的最大电流为：I₀=$\frac{1}{2}{I}_{m}$=0.25A…⑥
感应电动势为：?=IR_总=0.5×2V=1.0V…⑦
此时杆的速度为：${v_m}=\frac{ε}{BL}=\frac{1.0}{1.0×0.4}m/s=2.5m/s$…⑧
有能量守恒得：$mgSsinθ=\frac{1}{2}mv_m^2+μmgScosθ+{Q_总}$…⑨
由图得：Q_总=4Q_o=2 J        
联立解得：S=11.56m
（3）平均电动势为：$\overline E=BL\overline v$…⑩
由闭合电路欧姆定律得：$\overline{I}$=$\frac{\overline{E}}{r+\frac{1}{2}{R}_{0}}$…⑪
通过上端电阻R₀的电量为：$q=\frac{\overline I}{2}t$=$\frac{1}{2}$•$\frac{BLS}{r+\frac{1}{2}{R}_{0}}$=1.156（C）
答：（1）当ab杆的速度为v₁=1.25m/s时ab杆的加速度为1m/s²．
（2）ab杆的最大速度是2.5m/s．从开始到速度最大的过程中ab杆沿斜面下滑的距离是11.56m；
（3）从开始到最大速度的过程中通过上端电阻R₀的电量为1.156C．

点评 本题熟练运用法拉第电磁感应定律和欧姆定律求安培力、由法拉第电磁感应定律和欧姆定律求感应电量是关键．感应电量经验公式q=$\frac{△Φ}{R+r}$可理解记住．