题目内容
18．
有一实心立方体A，边长为L，从内部去掉一部分物质，剩余部分质量为m，一立方体B恰能完全填充A的空心部分，质量也为m，如图所示，即B的外表面与A的内表面恰好接触．整体放在一个盛有密度为ρ的液体的容器里（容器无限大），刚开始，A漂浮在液面上，用外力使A向下产生位移b，平衡后由静止释放，A将要上下振动（水的摩擦阻力不计）．可以证明该振动为简谐运动，振动过程中，A始终不离开液面，也不被液面埋没，已知重力加速度g求：（1）物体B的最大速率．
（2）在最高点和最低点A对B的作用力．
分析 （1）对整体受力分析，求得撤去外力后整体受到的合力特点，判断出整体为等价后的弹簧振子，在平衡位置速度最大，即可求得；
（2）根据合力得在最低点和最高点的加速度，根据牛顿第二定律求作用力，
解答 解：（1）物体刚开始漂浮时F浮=2mg
A向下产生位移b时，$F{′}_{浮}=2mg+ρg{L}^{2}b$
撤去外力瞬间，整体所受合力${F}_{合}=ρg{L}^{2}b$
由上分析可知，可以将以后整体的运动等价成劲度系数为k=ρgL2，振幅为b的弹簧振子的简谐运动，物体B与整体速度一样，根据弹簧振子的性质可知，整体回到平衡位置时速度最大，类似弹簧势能全部转化为动能$\frac{1}{2}•2m{v}^{2}=\frac{1}{2}ρg{L}^{2}{b}^{2}$
解得$v=Lb\sqrt{\frac{ρg}{2m}}$
（2）整体在最低点时，所受合外力${F}_{合}=ρg{L}^{2}b$
有牛顿第二定律可知整体的加速度a=$\frac{ρg{L}^{2}b}{2m}$
对B受力分析B受A向上的力F1
F1-mg=ma
解得${F}_{1}=mg+ma=mg+\frac{ρg{L}^{2}b}{2}$，方向向上
有对称性可知，在最高点B的加速度依然为a，方向向下，受A向上的作用力为F2
mg-F2=ma
解得${F}_{2}=mg-ma=mg-\frac{ρg{L}^{2}b}{2}$，方向向上
答：（1）物体B的最大速率为$Lb\sqrt{\frac{ρg}{2m}}$．
（2）在最高点和最低点A对B的作用力分别为$mg-\frac{ρg{L}^{2}}{2}$和$mg+\frac{ρg{L}^{2}b}{2}$．
点评 本题主要考查了等效后的弹簧振子的速度最大值和作用力，关键是先整体把握，判断出两物体做的是劲度系数为k=ρgL2，振幅为b的弹簧振子的简谐运动
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如图所示，底座A上装有长0.4m的直立杆，总质量为0.2kg，质量为0.6kg的小环B紧紧套在杆上，二者之间的滑动摩擦力为3N，一开始杆静止于地面，若环从杆底端以4m/s的速度升起，当到达杆的最高点时，二者恰好相对静止，取g=10m/s2（底座A的高度忽略不计），在此过程中下列说法正确的是（ ）| A． | 当环到达杆的最高点时，环距离地面高度为0.5m | |
| B． | 当环到达杆的最高点时，环的速度大小为1m/s | |
| C． | 当环达到杆的最高点时，所用时间0.2s | |
| D． | 环在上升过程中的加速度大小为5m/s2 |
| A． | 物体A对斜面的压力就是物体A所受重力垂直于斜面的分力 | |
| B． | 物体A对斜面的压力和斜面对物体的支持力是一对相互作用力 | |
| C． | 物体A受到的重力和斜面对物体的作用力是一对相互作用力 | |
| D． | 物体A所受重力沿斜面的分力和斜面所受的摩擦力是一对平衡力 |
如图所示，将一光滑圆轨道固定竖直放置，其中A点为圆轨道的最低点，B点为圆水平直径与圆弧的交点．一个质量为m的物体静置于A点，现用始终沿轨道切线方向、大小不变的外力F作用于物体上，使其沿圆轨道到达B点，随即撤去外力F，要使物体能在竖直圆轨道内维持圆周运动，外力F至少为（ ）| A． | $\frac{2mg}{π}$ | B． | $\frac{3mg}{π}$ | C． | $\frac{4mg}{π}$ | D． | $\frac{5mg}{π}$ |
如图所示，在光滑水平面上有一物块在水平恒定外力F的作用下从静止开始运动，在其正前方有一根固定在墙上的轻质弹簧，从物块与弹簧接触到弹簧压缩量最大的过程中，下列说法正确的是（ ）| A． | 物块接触弹簧后一直做减速运动 | |
| B． | 当弹簧压缩量最大时，物块的加速度等于零 | |
| C． | 当物块的加速度等于零时，速度也为零 | |
| D． | 物体A的加速度先减小后增大，速度先增大后减小 |
