Question

5．如图所示，有A，B两颗卫星绕地球做匀速圆周运动．A为在地面附近绕地球做匀速圆周运动的卫星，轨道半径为R，B为地球同步卫星．已知地球质量为M，自转周期为T，引力常量为G．则地球第一宇宙速度为$\sqrt{\frac{GM}{R}}$，卫星B到地面的高度h=$\root{3}{\frac{GM{T}^{2}}{4{π}^{2}}}-R$．

Answer 1

分析 （1）由万有引力充当向心力可得出线速度的大小，地球第一宇宙速度等于地面附近绕地球做匀速圆周运动的卫星速度；
（2）地球同步卫星的周期与地球自转周期相同，则由万有引力充当向心力可求得其离地高度．

解答 解：（1）对卫星A，由牛顿第二定律和万有引力充当向心力可得出
$\sqrt{\frac{GM{m}_{A}}{{R}^{2}}}$=m_A$\frac{{v}^{2}}{R}$
解得：v=$\sqrt{\frac{GM}{R}}$，即地球第一宇宙速度为$\sqrt{\frac{GM}{R}}$，
（2）地球同步卫星的周期与地球自转周期相同，对卫星B，设它到地面高度为h，同理由万有引力充当向心力可得
G$\frac{Mm}{（R+h）^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$（R+h）
解得：h=$\root{3}{\frac{GM{T}^{2}}{4{π}^{2}}}-R$
故答案为：$\sqrt{\frac{GM}{R}}$；$\root{3}{\frac{GM{T}^{2}}{4{π}^{2}}}-R$

点评 人造地球卫星所受到的万有引力充当向心力，故由向心力公式可求得线速度、角速度、周期等，知道地球同步卫星的周期与地球自转周期相同，第一宇宙速度等于地面附近绕地球做匀速圆周运动的卫星速度，难度不大啊，属于基础题．