Question

17．2016年10月19日凌晨，神舟十一号载人飞船经过5次变轨后与天宫二号对接成功；设地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，两者对接后一起绕地球运行的轨道可视为圆轨道，离地面的高度为kR，运行周期为T，则（　　）

• A． 对接前，飞船在前，可通过自身减速而使轨道半径变大
• B． 对接后，飞船的线速度为v=$\frac{2πR（1+k）}{T}$
• C． 对接后，飞船的加速度为a=$\frac{g}{（1+k）^{2}}$
• D． 由题中数据可求得地球的密度为ρ=$\frac{3π（1+k）^{2}}{G{T}^{2}}$

Answer 1

分析 根据万有引力等于重力，万有引力提供向心力，得出对接成功后的加速度．根据万有引力提供向心力，结合轨道半径和周期求出地球的质量，结合密度公式求出地球密度．

解答 解：A、对接前，飞船在前，如果自身减速，在原轨道上万有引力大于所需要的向心力，做近心运动，轨道半径变小，故A错误；
B、对接后，轨道半径r=R+kR=（1+k）R，飞船的线速度$v=\frac{2πr}{T}=\frac{2π（1+k）R}{T}=\frac{2πR（1+k）}{T}$，故B正确；
C、在地球表面附近，根据重力等于万有引力，$mg=G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$，得$GM=g{R}_{\;}^{2}$；对接后，根据万有引力提供向心力，有$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=ma$，得$a=\frac{GM}{{r}_{\;}^{2}}$=$\frac{g{R}_{\;}^{2}}{（1+k）_{\;}^{2}{R}_{\;}^{2}}=\frac{g}{（1+{k}_{\;}^{2}）}$，故C正确；
D、根据万有引力提供向心力，有$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}r$，得地球质量$M=\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}=\frac{4{π}_{\;}^{2}（R+kR）_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$=$\frac{4{π}_{\;}^{2}（1+k）_{\;}^{3}{R}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$，密度$ρ=\frac{M}{V}=\frac{\frac{4{π}_{\;}^{2}（1+k）_{\;}^{3}{R}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}}{\frac{4π{R}_{\;}^{3}}{3}}$=$\frac{3π（1+k）_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$，故D错误；
故选：BC

点评 解决本题的关键掌握万有引力提供向心力和万有引力等于重力这两个理论，并能灵活运用