Question

5．某双星系统，两天体质量分别为M与m，两天体球心间距离为L，已知万有引力恒量为G，
（1）求该双星系统的周期
（2）求质量为M的天体的线速度．

Answer 1

分析 （1）双星靠相互间的万有引力提供向心力，抓住角速度相等，向心力相等求出轨道半径之比，进一步计算轨道半径大小；据万有引力提供向心力计算出周期．
（2）由$v=\frac{2πr}{T}$即可求出线速度．

解答 解：（1）设行星转动的角速度为ω，周期为T．
（1）对星球M，由向心力公式可得：
   $\frac{GMm}{{L}^{2}}$=Mω²R₁
同理对星m，有：$\frac{GMm}{{L}^{2}}$=mω²R₂
两式相除得：$\frac{{R}_{1}}{{R}_{2}}$=$\frac{m}{M}$，（即轨道半径与质量成反比）
又因为L=R₁+R₂
所以得 R₁=$\frac{mL}{M+m}$，R₂=$\frac{ML}{M+m}$
有上式得到ω=$\frac{1}{L}\sqrt{\frac{G（M+m）}{L}}$
因为T=$\frac{2π}{ω}$，所以T=2πL$\sqrt{\frac{L}{G（M+m）}}$
（2）M的线速度：v=$\frac{2π{R}_{1}}{T}$=$m•\sqrt{\frac{G}{G（M+m）}}$
答：（1）该双星系统的周期是$\sqrt{\frac{L}{G（M+m）}}$
（2）质量为M的天体的线速度是$m•\sqrt{\frac{G}{G（M+m）}}$．

点评 解决本题的关键掌握双星模型系统，知道它们靠相互间的万有引力提供向心力，向心力的大小相等，角速度的大小相等．