题目内容

13.如图所示,虚线MN为电场、磁场的分界线,匀强电场E=103V/m,方向竖直向上,电场线与边界线MN成45o角,匀强磁场垂直纸面向里,磁感应强度B=1T,在电场中有一点A,A点到边界线MN的垂直距离AO的长为L=10cm,将比荷为$\sqrt{2}$×104C/kg的带负电粒子从A处由静止释放(电场、磁场范围足够大,粒子所受重力不计).求:
(1)粒子第一次在磁场中运动的轨道半径;
(2)粒子从释放到下一次进入到电场区域所需要的时间.

分析 (1)根据动能定理求解粒子第一次进入磁场时的速度大小;
(2)先求出粒子在电场中匀加速直线运动的时间,由牛顿第二定律和速度公式结合求解;粒子在磁场中转过$\frac{3}{4}$周,运动时间为$\frac{3}{4}$,求得周期T,即求出在磁场中运动时间,从而得到总时间;

解答 解:(1)粒子在电场中有:$qE•\sqrt{2}L=\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
代入数据:${v}_{0}^{\;}=\sqrt{\frac{2qE•\sqrt{2}L}{m}}$=$\sqrt{2×\sqrt{2}×1{0}_{\;}^{4}×1{0}_{\;}^{3}×\sqrt{2}×0.1}$=$2×1{0}_{\;}^{3}m/s$
在磁场中:$q{v}_{0}^{\;}B=m\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$
解得:$r=\frac{m{v}_{0}^{\;}}{qB}=\frac{{v}_{0}^{\;}}{\frac{q}{m}B}=\frac{2000}{\sqrt{2}×1{0}_{\;}^{4}×1}=\sqrt{2}×1{0}_{\;}^{-1}$m
(2)由$\sqrt{2}L=\frac{1}{2}\frac{qE}{m}{t}_{1}^{2}$
代入数据解得:${t}_{1}^{\;}=\sqrt{2}×1{0}_{\;}^{-4}s$
粒子在磁场中运动$\frac{3}{4}$周,$T=\frac{2πm}{qB}$
所以${t}_{2}^{\;}=\frac{3}{4}T=\frac{3}{4}×\frac{2πm}{qB}=\frac{3\sqrt{2}π}{4}×1{0}_{\;}^{-4}s$
所以$t={t}_{1}^{\;}+{t}_{2}^{\;}=\frac{\sqrt{2}}{4}(4+3π)×1{0}_{\;}^{-4}s$
答:(1)粒子第一次在磁场中运动的轨道半径$\sqrt{2}×1{0}_{\;}^{-1}m$;
(2)粒子从释放到下一次进入到电场区域所需要的时间$\frac{\sqrt{2}}{4}(4+3π)×1{0}_{\;}^{-4}s$

点评 本题的解题关键是画出磁场中的轨迹,根据几何知识求出距离与半径,确定轨迹的圆心角,计算时间与周期的关系.

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