Question

4．如图所示，在0≤x≤a、0≤y≤$\frac{a}{2}$范围内有垂直于xy平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，坐标原点O处有一个粒子源，在某时刻发射大量质量为m、电荷量为q的带正电粒子，它们的速度大小相同，速度方向均在xy平面内，与y轴正方向的夹角分布在0～90°范围内，已知粒子在磁场中做圆周运动的半径介于$\frac{a}{2}$到a之间，从发射粒子到粒子全部离开磁场经历的时间恰好为粒子在磁场中做圆周运动周期的四分之一，求最后离开磁场的粒子从粒子源射出时的速度的大小及方向？

Answer 1

分析 最后离开磁场的粒子在磁场中运动的时间最长，故其轨迹圆弧对应的圆心角最大；画出临界轨迹，确定轨道半径，然后根据牛顿第二定律列式求解其速度的大小及方向．

解答 解：设粒子的发射速度为v，粒子做圆周运动的轨道半径为R，根据洛伦兹力提供向心力，得：
qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
解得
R=$\frac{mv}{qB}$
当

a

2

＜R＜a时，在磁场中运动的时间最长的粒子，其轨迹是圆心为C的圆弧，圆弧与磁场的边界相切，如图所示，设该粒子在磁场中运动的时间为t，依题意，t=$\frac{T}{4}$，回旋角度为∠OCA=$\frac{π}{2}$
设最后离开磁场的粒子的发射方向与y轴正方向的夹角为α，由几何关系得：
Rsinα=R-$\frac{α}{2}$，Rsinα=a-Rcosα，且sin²α+cos²α=1
解得：
R=（2-$\frac{\sqrt{6}}{2}$）a，v=（2-$\frac{\sqrt{6}}{2}$）$\frac{aqB}{m}$，sinα=$\frac{6-\sqrt{10}}{6}$
故最后离开磁场的粒子从粒子源射出时的速度大小为：
v=（2-$\frac{\sqrt{6}}{2}$）$\frac{aqB}{m}$
最后离开磁场的粒子从粒子源射出时的速度方向与y轴正方向夹角的正弦为：
sinα=$\frac{6-\sqrt{6}}{10}$
故α=20.8°
答：最后离开磁场的粒子从粒子源射出时的速度的大小为（2-$\frac{\sqrt{6}}{2}$）$\frac{aqB}{m}$，方向与y轴正方向夹角为20.8°．

点评 本题关键是找出粒子的运动轨迹的临界情况图，注意轨迹对应的弦长越长，圆心角越大，运动的时间越长．