Question

17．如图所示，一个半径为R、内侧光滑的圆形轨道平放于光滑水平面上并被固定，其圆心为O．有a、b两个可视为质点的小球，分别静止靠在轨道内侧、直径AB的两端，两球质量分别为m_a=4m和m_b=m．现给a球一个沿轨道切线方向的水平初速度v₀，使其从A向B运动并与b球发生弹性碰撞，已知两球碰撞时间极短，求两球第一次碰撞和第二次碰撞之间的时间间隔．

Answer 1

分析 先对两球进行受力受力，判断出两球相互作用的过程中动量守恒，利用动量守恒定律及能量守恒定律可求得碰撞后的两球的速度，判断出碰撞后两球的运动方向，当再次相遇时两球转过的弧长之差为圆周的长度，即可得知两次相碰的时间间隔．

解答 解：a球与b球在B点第一次相碰，两球组成的系统合外力为零，碰撞过程中动量守恒，以逆时针方向为正方向，设第一次碰后a、b的速度分别为v_a和v_b，由动量守恒定律得：
m_av₀=m_av_a+m_bv_b
碰撞过程中机械能守恒，有：
$\frac{1}{2}•{m_a}v_0^2=\frac{1}{2}•{m_a}{v_a}_{\;}^2+\frac{1}{2}•{m_b}{v_b}_{\;}^2$
联立解得：${v_b}=\frac{{2{m_a}}}{{{m_a}+{m_b}}}{v_0}=\frac{8}{5}{v_0}$
${v_a}={v_b}-{v_0}=\frac{3}{5}{v_0}$
v_a和v_b均为正值，表明碰后两球运动方向相同（都朝逆时针方向）
到第二次碰前，设时间间隔为△t，有：
（v_b-v_a）•△t=2πR
解得：$△t=\frac{2πR}{v_0}$
答：两球第一次碰撞和第二次碰撞之间的时间间隔为$\frac{2πR}{{v}_{0}}$

点评 该题考查到动量守恒定律及机械能守恒定律，在用于定律守恒定律解题时，要注意解题的一般步骤，首先要确定研究对象（由哪些问题组成的系统），对其受力分析，判断是否满足动量守恒的条件，再确定正方向后列式计算．守恒条件的判断是解答该类型题的关键．
动量守恒定律成立的条件：
①系统不受外力或系统所受外力的合力为零；
②系统所受的外力的合力虽不为零，但系统外力比内力小得多，如碰撞问题中的摩擦力，爆炸过程中的重力等外力比起相互作用的内力来小得多，可以忽略不计；
③系统所受外力的合力虽不为零，但在某个方向上的分量为零，则在该方向上系统的总动量的分量保持不变．
动量守恒的速度具有“四性”：
①矢量性；②瞬时性；③相对性；④普适性．