Question

【题目】三维弹球是Window里面附带的一款使用键盘操作的电脑游戏，小王同学受此启发，在学校组织的趣味运动会上，为大家提供了一个类似的弹珠游戏。如图所示，将一质量为的小弹珠可视为质点放在O点，用弹簧装置将其弹出，使其沿着光滑的半圆形轨道OA和AB进入水平桌面BC，从C点水平抛出。已知半圆型轨道OA和AB的半径分别为，，BC为一段长为的粗糙水平桌面，小弹珠与桌面间的动摩擦因数为，放在水平地面的矩形垫子DEFG的DE边与BC垂直，C点离垫子的高度为，C点离DE的水平距离为，垫子的长度EF为1m，求：

若小弹珠恰好不脱离圆弧轨道，在B位置小弹珠对半圆轨道的压力；

若小弹珠恰好不脱离圆弧轨道，小弹珠从C点水平抛出后落入垫子时距左边缘DE的距离；

若小弹珠从C点水平抛出后不飞出垫子，小弹珠被弹射装置弹出时的最大初速度。

Answer 1

【答案】（1）6N（2）0.2m（3）

【解析】

(1)由牛顿第二定律求得在A点的速度，然后通过机械能守恒求得在B点的速度，进而由牛顿第二定律求得支持力，即可由牛顿第三定律求得压力；

(2)通过动能定理求得在C点的速度，即可由平抛运动的位移公式求得距离；

(3)求得不飞出垫子弹珠在C点的速度范围，再通过动能定理求得初速度范围，即可得到最大初速度。

（1）若小弹珠恰好不脱离圆弧轨道，那么对弹珠在A点应用牛顿第二定律有，

所以，；
那么，由弹珠在半圆轨道上运动只有重力做功，机械能守恒可得：，所以，；
那么对弹珠在B点应用牛顿第二定律可得：弹珠受到半圆轨道的支持力

，方向竖直向上；
故由牛顿第三定律可得：在B位置小弹珠对半圆轨道的压力，方向竖直向下；（2）弹珠在BC上运动只有摩擦力做功，故由动能定理可得：，

所以，；
设小弹珠从C点水平抛出后落入垫子时距左边缘DE的距离为d，那么由平抛运动的位移公式可得：，

，

所以，；

（3）若小弹珠从C点水平抛出后不飞出垫子，那么弹珠做平抛运动的水平距离；
故平抛运动的初速度，

所以，；
又有弹珠从O到C的运动过程只有重力、摩擦力做功，故由动能定理可得：

；
所以，，

故，所以小弹珠被弹射装置弹出时的最大初速度为；