Question

如图所示，有一个连通的，上、下两层均与水平面平行的“U”型的光滑金属平行导轨，在导轨面上各放一根完全相同的质量为m的匀质金属杆A₁和A₂，开始时两根金属杆与轨道垂直，在“U”型导轨的右侧空间存在磁感应强度大小为B、方向竖直向上的匀强磁场，杆A₁在磁场中，杆A₂在磁场之外．设两导轨面相距为H，平行导轨宽为L，导轨足够长且电阻不计，金属杆单位长度的电阻为r．现在有同样的金属杆A₃从左侧半圆形轨道的中点从静止开始下滑，在下面与金属杆A₂发生碰撞，设碰撞后两杆立刻粘在一起并向右运动．求：
（1）回路内感应电流的最大值；
（2）在整个运动过程中，感应电流最多产生的热量；
（3）当杆A₂、A₃与杆A₁的速度之比为3：1时，A₁受到的安培力大小．

Answer 1

分析：金属杆A₁、A₂两杆在同一个金属U形导轨上都做变速运动，运动方向相同（都向右），同一时刻两杆都切割磁感线产生感应电动势，两个感应电动势在空间中的方向相同（都向外），但两个感应电动势在回路中的方向相反，所以总电动势是这两个电动势之差，即E=BL（v₁-v₂），电流是I=

BL(v1-v2)

R

，方向为金属杆A₁中感应电流的方向，因为A₁比A₂产生的感应电动势大，安培力是F=

B2L2(v1-v2)

R

，方向都和速度方向相反（都向左）．
根据平抛运动规律、动量守恒定律、能量守恒定律解决问题．

解答：解：（1）设A₃杆下滑与A₂杆碰前速度大小为v₀，依据动能定理有：

1

2

m

v

2 0

-0=mg

H

2

得：v0=

gH

设A₃A₂碰后速度大小为v₁，依据动量守恒有：mv₀=2mv₁
得：v1=

1

2

gH

感应电动势的最大值：E=BLv1=

BL gH

2

闭合回路的总电阻：R=rL+

rL

2

=

3rL

2

电流的最大值：Im=

E

R

=

B gH

3r

（2）设A₁A₂A₃杆的共同速度大小为v₂，依据动量守恒有：mv₀=3mv₂
得：v2=

v0

3

=

1

3

gH

依据能量关系，感应电流最多产生的热量：Q=

1

2

2m

v

2 1

-

1

2

3m

v

2 2

=

1

12

mgH
（3）设A₁杆速度大小为v，则A₂A₃杆的速度大小为3v
依据动量守恒有：mv₀=mv+2m×3v
得：v=

v0

7

=

1

7

gH

此时回路中的感应电动势：E′=BL3v-BLv=2BLv=

2

7

BL

gH

感应电流I′=

E′

R

A₁杆受到的安培力：F安=BI′L=

4B2L gH

21r

答：（1）回路内感应电流的最大值为

B gH

2

；
（2）在整个运动过程中，感应电流最多产生的热量为

1

12

mgH；
（3）当杆A₂、A₃与杆A₁的速度之比为3：1时，A₁受到的安培力大小为

4B2L gH

21r

．

点评：注重金属杆A₁、A₂两杆的运动过程分析，清楚同一时刻两杆都切割磁感线产生感应电动势时，根据两个感应电动势在回路中的方向会求出电路中总的感应电动势．