Question

3．如图所示，两根等高的四分之一光滑圆弧轨道，半径为r、间距为L，图中oa水平，co竖直，在轨道顶端连有一阻值为R的电阻，整个装置处在一竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度为B．现有一根长度稍大于L、质量为m、电阻不计的金属棒从轨道的顶端ab处由静止开始下滑，到达轨道底端cd时受到轨道的支持力为2mg．整个过程中金属棒与导轨接触良好，轨道电阻不计，求：
（1）金属棒到达轨道底端cd时的速度大小和通过电阻R的电流：
（2）金属棒从ab下滑到cd过程中回路中产生的焦耳热和通过R的电荷量：
（3）若金属棒在拉力作用下，从cd开始以速度v₀向右沿轨道做匀速圆周运动，则在到达ab的过程中拉力做的功为多少？

Answer 1

分析 （1）金属棒滑到道底端MN时，由重力和轨道的支持力提供向心力，根据牛顿第二定律求出此时棒的速度．由E=BLv、I=$\frac{E}{R}$求解通过R的电流；
（2）棒下滑的过程中，其重力势能转化为棒的动能和电路中内能，根据能量守恒定律求解金属棒产生的热量．由法拉第电磁感应定律、欧姆定律和电量公式q=I△t求通过R的电荷量q．
（3）若棒从cd开始以速度v₀向右沿轨道做匀速圆周运动，其水平方向的分运动是简谐运动，棒中将产生正弦式电流．将棒的瞬时速度v₀分解，水平方向的分速度对产生感应电动势有贡献，求出电流的有效值，即可救出棒中产生的热量，再根据功能关系求拉力做功．

解答 解：（1）到达轨道底端cd时，
由牛顿第二定律得：2mg-mg=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，解得：v=$\sqrt{gr}$，
感应电动势：E=BLv，
感应电流：I=$\frac{E}{R}$，
解得：I=$\frac{BL\sqrt{gr}}{R}$；
（2）由能量守恒定律得：Q=mgr-$\frac{1}{2}$mv²，
产生的焦耳热：Q=$\frac{1}{2}$mgr，
平均感应电动势：$\overline{E}$=$\frac{△Φ}{△t}$，
平均感应电流：$\overline{I}$=$\frac{\overline{E}}{R}$，
通过R的电荷量：q=$\overline{I}$•△t，
解得：q=$\frac{BrL}{R}$；
（3）金属棒中产生正弦交变电流的有效值：I=$\frac{BL{v}_{0}}{\sqrt{2}R}$，
在四分之一周期内产生的热量：Q=I²R×$\frac{πr}{2{v}_{0}}$，
由能量守恒定律得：W_F-mgr=Q，
解得拉力做的功：W_F=mgr+$\frac{πr{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}}{4R}$；
答：（1）金属棒到达轨道底端cd时的速度大小为$\sqrt{gr}$，通过电阻R的电流为$\frac{BL\sqrt{gr}}{R}$；
（2）金属棒从ab下滑到cd过程中回路中产生的焦耳热为：$\frac{1}{2}$mgr，通过R的电荷量为$\frac{BrL}{R}$；
（3）若金属棒在拉力作用下，从cd开始以速度v₀向右沿轨道做匀速圆周运动，则在到达ab的过程中拉力做的功为mgr+$\frac{πr{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}}{4R}$．

点评 本题中金属棒做圆周运动，分析向心力的来源，根据牛顿运动定律求出速度，分析能量如何转化，再运用能量守恒定律求内能．关键要懂得棒做匀速圆周运动时，水平方向的分运动是简谐运动，将产生正弦式电流，要用有效值求热量．