题目内容

13．如图所示，水平转台上有一个质量为m的小物块，用长为l的细绳将物块连接在与转台固定在一起的转轴上，细绳与竖直转轴的夹角为θ，此时绳伸直但拉力为零．已知物块与转台间动摩擦因数为μ（μ＜tanθ），设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，现让物块随转台一起由静止开始加速转动．求：
（1）绳中刚产生拉力时转台的角速度；
（2）转台由静止加速至小物块支持力为零的过程中，转台对小物块做的功；
（3）小物块由静止加速到角速度为＜“m“：math xmlns：dsi='http://www．dessci．com/uri/2003/MathML'dsi：zoomscale='150'dsi：_mathzoomed='1'style='CURSOR：pointer； DISPLAY：inline-block'＞ω=3g2lcosθ$ω=\sqrt{\frac{3g}{2lcosθ}}$的过程中，小物块机械能的增量．

分析 （1）绳中刚产生拉力时，由最大静摩擦力提供向心力，根据牛顿第二定律求角速度．
（2）根据牛顿第二定律和向心力公式求出支持力为零时的速度，再由动能定理求转台对小物块做的功；
（3）根据合力提供提供向心力，求出细绳与竖直方向夹角的余弦，再由能量关系求小物块机械能的增量．

解答 解：（1）绳中刚产生拉力时，由最大静摩擦力提供向心力，根据牛顿第二定律得：
  f0=mω2r
又 f0=μmg，r=lsinθ
解得ω=$\sqrt{\frac{μg}{lsinθ}}$
（2）当小物块所受的支持力为零时，有 mgtanθ=m$\frac{{v}^{2}}{lsinθ}$
根据动能定理知：转台对小物块做的功 W=Ek=$\frac{1}{2}$mv2
解得 W=$\frac{mglsi{n}^{2}θ}{2cosθ}$
（3）当$ω=\sqrt{\frac{3g}{2lcosθ}}$时，设细绳与转轴的夹角为α，则 mgtanα=mω2lsinα
得 cosα=$\frac{2}{3}$cosθ
则小物块重力势能的增加量△Ep=mg（lcosθ-lcosα）
动能的增量量△Ek=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$=$\frac{1}{2}m（ωlsinα）^{2}$
物块机械能的增量为△Ep+△Ek=$\frac{3mgl}{4cosθ}$
答：
（1）绳中刚产生拉力时转台的角速度是$\sqrt{\frac{μg}{lsinθ}}$；
（2）转台由静止加速至小物块支持力为零的过程中，转台对小物块做的功是$\frac{mglsi{n}^{2}θ}{2cosθ}$；
（3）小物块由静止加速到角速度为$ω=\sqrt{\frac{3g}{2lcosθ}}$的过程中，小物块机械能的增量是$\frac{3mgl}{4cosθ}$．

点评 本题考查牛顿运动定律和功能关系在圆周运动中的应用，注意临界条件的分析，至绳中出现拉力时，摩擦力为最大静摩擦力；转台对物块支持力为零时，N=0，f=0．

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