Question

2．如图所示，两根不计电阻的光滑倾斜平行导轨与水平面的夹角θ=37°，底端接电阻R=1.2Ω．在两根导轨所在的平面内建立xOy的坐标系．在x方向0-12m的范围内的曲线方程为y₁=sin$\frac{π}{12}$xm，12m到36m的范围内的曲线方程为y₂=-2sin$\frac{π（x-12）}{24}$m，曲线与x轴所围空间区域存在着匀强磁场，磁感应强度B=0.5T，方向垂直与导轨平面向上．金属棒ab的质量为m=0.2kg，电阻r=0.8Ω，垂直搁在导轨上，在平行于x轴方向的外力F作用下以v=4m/s的速度沿斜面匀速下滑．（取g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8）求：
（1）当金属棒ab通过x=6m位置时的外力F的瞬时功率．
（2）金属棒ab通过磁场的过程中电阻R上产生的焦耳热．
（3）金属棒ab通过磁场的过程中外力F所做的功．

Answer 1

分析 （1）由E=BLv求出感应电动势，根据安培力公式求出安培力，由受力平衡求出外力F的大小，根据P=Fv得外力F的瞬时功率；
（2）先求出电流的有效值，根据焦耳定律求金属棒ab通过磁场的过程中电阻R上产生的焦耳热
（3）由动能定理可以求出金属棒ab通过磁场的过程中外力F所做的功

解答 解：（1）金属棒作切割磁感线运动，产生感应电动势为E，则E=BLv
由曲线方程可知x=6m处棒的有效长度为${l}_{0}^{\;}$=1m
此时的电流${I}_{0}^{\;}=\frac{{E}_{1}^{\;}}{R+r}$         安培力${F}_{0}^{\;}=B{I}_{0}^{\;}{l}_{0}^{\;}$
由受力分析可知：$mgsinθ=F+{F}_{0}^{\;}$
解得：F=0.7N（方向沿斜面向上）
故此时，外力的功率大小为P=FV=2.8W
（2）在x方向0-12m范围
感应电动势最大值${e}_{1}^{\;}=B{y}_{1}^{\;}v$    
感应电流最大值   $i=\frac{{e}_{1}^{\;}}{R+r}$    
感应电流有效值 ${I}_{1}^{\;}=\frac{{i}_{1m}^{\;}}{\sqrt{2}}$     
运动时间 ${t}_{1}^{\;}=\frac{{x}_{1}^{\;}}{v}$   
焦耳热  ${Q}_{1}^{\;}={I}_{1}^{2}R{t}_{1}^{\;}$
在x方向12-36m范围
感应电动势最大值${e}_{2}^{\;}=B{y}_{2}^{\;}v$ 
感应电流最大值  ${i}_{2}^{\;}=\frac{{e}_{2}^{\;}}{R+r}$ 
感应电流有效值  ${I}_{2}^{\;}=\frac{{i}_{2m}^{\;}}{\sqrt{2}}$ 
运动时间  ${t}_{2}^{\;}=\frac{{x}_{2}^{\;}}{v}$
焦耳热   ${Q}_{2}^{\;}={I}_{2}^{2}R{t}_{2}^{\;}$
总焦耳热Q=Q₁+Q₂  
=$（\frac{B{y}_{1}^{\;}v}{\sqrt{2}（R+r）}）_{\;}^{2}R\frac{{x}_{1}^{\;}}{v}$+$（\frac{B{y}_{2}^{\;}v}{\sqrt{2}（R+r）}）_{\;}^{2}R\frac{{x}_{2}^{\;}}{v}$
=$（\frac{0.5×1×4}{\sqrt{2}（1.2+0.8）}）_{\;}^{2}×1.2×\frac{12}{4}$+$（\frac{0.5×2×4}{\sqrt{2}（1.2+0.8）}）_{\;}^{2}×1.2×\frac{36-12}{4}$
Q=16.2J
（3）金属棒通过磁场过程中，重力做功${W}_{G}^{\;}=mgsinθX$=43.2J
安培力做功W_安=-$-{Q}_{总}^{\;}=-\frac{Q（R+r）}{R}$=-27J
对金属棒通过磁场过程用动能定理有：${W}_{G}^{\;}+{W}_{F}^{\;}+W=0$
解得：${W}_{F}^{\;}$=-16.2J
答：（1）当金属棒ab通过x=6m位置时的外力F的瞬时功率2.8W．
（2）金属棒ab通过磁场的过程中电阻R上产生的焦耳热16.2J．
（3）金属棒ab通过磁场的过程中外力F所做的功-16.2J

点评 本题考查了动能定理、串联电路、闭合电路的欧姆定律、电功、电功率、电磁感应现象、感应电动势．正弦交流电、交流电的最大值与有效值．综合性较强，对学生能力要求较高，需加强训练．