Question

4．如图所示，长为l的细线，一端栓有质量为m的小球（可视为质点），另一端固定在O点，在O点的正下方距离O点为x的P点处固定有一钉子．现将小球向右拉离平衡位置，使细线与竖直方向成60°角时由静止释放，释放后小球将在竖直平面内摆动．重力加速度为g．
（1）求小球运动到最低点时的速度大小v₁；
（2）若OP间的距离x₁=$\frac{1}{2}$，求细线碰到钉子后的瞬间细线中的拉力大小F；
（3）要使小球在运动的过程中细线始终处于绷直状态，求x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）对机械能守恒定律可求得最低点时的速度；
（2）由向心力公式可求得细线碰到钉子后的瞬间；细线拉力的大小；
（3）要使细线绷紧，则应使绳子上始终有拉力；根据摆动和圆周运动两种情况进行分析，明确x的取值范围．

解答 解：（1）由机械能守恒定律可知：
mgl（1-cos60°）=$\frac{1}{2}$mv₁²-0；
解得：v₁=$\sqrt{gl}$；
（2）由向心力公式可得：
T-mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{\frac{l}{2}}$
解得：T=3mg；
（3）①当小球绕钉子摆动，此时0＜x$≤\frac{l}{2}$
（2）当小球绕钉子做圆周运动，设刚好能做圆周运动的半径为r；则有：
mg（l-lcos60°-2r）=$\frac{1}{2}$mv₂²-0；
mg=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{r}$
x_min=l-r
解得：x_min=$\frac{4l}{5}$
此时$\frac{4l}{5}$≤x＜l；
答：（1）（1）小球运动到最低点时的速度大小v₁为$\sqrt{gl}$；
（2）若OP间的距离x₁=$\frac{1}{2}$，求细线碰到钉子后的瞬间细线中的拉力大小F为3mg；
（3）要使小球在运动的过程中细线始终处于绷直状态，x的取值范围$\frac{4l}{5}$≤x＜l；

点评 本题考查机械能守恒定律的应用及向心力公式；要注意正确分析物理过程，明确竖直方向圆周运动的临界条件的应用．