Question

13．如图所示半径为R、r（R＞r）甲、乙两圆形轨道安置在同一竖直平面内，两轨道之间由一条水平轨道（CD）相连，如小球从离地3R的高处A点由静止释放，可以滑过甲轨道，经过CD段又滑上乙轨道后离开两圆形轨道，小球与CD段间的动摩擦因数为μ，其余各段均光滑．为使小球进入圆形轨道并不脱离圆形轨道，试设计CD段的长度．

Answer 1

分析 为避免出现小球脱离圆形轨道而发生撞轨现象，一种可能是越过乙轨道的最高点，根据乙轨道最高点临界速度求出CD的临界值．一种可能越过乙轨道的最低点，但是越不过乙轨道圆心的等高处，根据动能定理求出CD的范围．

解答 解：设CD的长度为x，小球在乙轨道最高点的最小速度为：$v=\sqrt{gr}$；
小球要通过乙轨道最高点，则需满足：$mg（3R-2r）μmgx≥\frac{1}{2}m{v}_{\;}^{2}$，得：$x≤\frac{6R-5r}{2μ}$；
小球到乙轨圆心等高处之前再返回，则需满足：mg（3R-r）-μmgx≤0；
且mg•3R-μmgx＞0，得：$\frac{3R-r}{μ}≤x≤\frac{3R}{μ}$；
故：CD$≤\frac{6R-5r}{2μ}$或$\frac{3R-r}{μ}≤CD≤\frac{3R}{μ}$
答：设计CD段的长度满足CD$≤\frac{6R-5r}{2μ}$或$\frac{3R-r}{μ}≤CD≤\frac{3R}{μ}$．

点评 本题综合运用了动能定理和机械能守恒定律，运用两规律解题时要合适地选择研究的过程．为避免出现小球脱离圆形轨道而发生撞轨现象，一种可能是越过乙轨道的最高点，另一种可能越过乙轨道的最低点，但是越不过乙轨道圆心的等高处．