Question

5．宇航员在月球表面附近自高度h处以初速度v₀水平抛出一个小球，测出小球的水平射程为L，已知月球半径为R，万有引力常量为G．求：
（1）月球表面的重力加速度g；
（2）月球的质量M；
（3）月球的第一宇宙速度．

Answer 1

分析 宇航员在月球上自高h处以初速度v₀水平抛出一物体，测出物体的水平射程为L，根据水平射程和初速度求出运动的时间，根据h=$\frac{1}{2}$gt²求出月球表面的重力加速度大小；由g=$\frac{GM}{{r}^{2}}$求得月球的质量；根据重力提供向心力求出卫星的第一宇宙速度．

解答 解：（1）小球做平抛运动，根据分位移公式，有：
L=v₀t
h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
联立解得：
g=$\frac{2h{v}_{0}^{2}}{{L}^{2}}$
（2）在月球表面，重力等于万有引力，故：
mg=G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$
解得：
M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$=$\frac{2h{v}_{0}^{2}{R}^{2}}{G{L}^{2}}$
（3）第一宇宙速度是月表表面卫星的环绕速度，故：
mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
解得：
v₁=$\sqrt{gR}$=$\sqrt{\frac{2h{v}_{0}^{2}}{{L}^{2}}•R}$=$\sqrt{\frac{2h{v}_{0}^{2}R}{{L}^{2}}}$=$\frac{{v}_{0}}{L}\sqrt{2hR}$
答：（1）月球表面的重力加速度g为$\frac{2h{v}_{0}^{2}}{{L}^{2}}$；
（2）月球的质量M为$\frac{2h{v}_{0}^{2}{R}^{2}}{G{L}^{2}}$；
（3）月球的第一宇宙速度为$\frac{{v}_{0}}{L}\sqrt{2hR}$．

点评 解决本题的关键知道平抛运动在水平方向上和竖直方向上的运动规律，以及掌握万有引力提供向心力以及万有引力等于重力这两个理论的运用．