Question

11．如图所示，在直角坐标系xOy平面内，虚线MN平行于y轴，N点坐标为（-l，0），MN与y轴之间有沿y轴正方向的匀强电场，在第四象限的某区域内有方向垂直于坐标平面的圆形有界匀强磁场（图中未画出）．现有一质量为m、电荷量为q的电子，从虚线MN上的P点，以平行于x轴正方向的初速度v0射入电场，并从y轴上的A点（0，$\frac{l}{2}$）射出电场，射出时速度方向与y轴负方向成30°角，此后，电子做匀速直线运动，进入磁场并从圆形有界磁场边界上Q点（$\frac{{\sqrt{3}}}{6}l$，-l）射出，速度沿x轴负方向，不计电子重力．求：
（1）匀强电场的电场强度E的大小；
（2）匀强磁场的磁感应强度B的大小及电子在磁场中运动的时间t；
（3）圆形有界匀强磁场区域的最小面积s．

Answer 1

分析 （1）根据电场力提供合力使其做类平抛运动，由牛顿第二定律，结合运动学公式从而即可求解；
（2）由几何关系可确定OD的距离，再由运动的分解可列出速度间的关系式，最后由运动轨迹的半径与周期公式，借助于已知长度，来确定磁场强弱与运动的时间；
（3）以切点F、Q为直径的圆形有界匀强磁场区域的半径最小，从而根据几何的关系，并由面积公式即可求解．

解答 解：（1）设电子在电场中运动的加速度为a，时间为t，离开电场时，沿y轴方向的速度大小为v_y，则
$a=\frac{qE}{m}$，
v_y=at，
l=v₀t，
v_y=v₀cot30°，
联立解得E=$\frac{\sqrt{3}m{{v}_{0}}^{2}}{ql}$．
（2）设电子的运动轨迹与x轴的交点为D，OD长度为x_D，则：
${x}_{D}=\frac{l}{2}tan30°$=$\frac{\sqrt{3}}{6}l$．
所以DQ平行于y轴，电子在磁场中做匀速圆周运动轨迹的圆心在DQ上，电子的运动轨迹如图所示，设电子离开电场时速度为v，在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径为r，则
v₀=vsin30°
r=$\frac{mv}{qB}=\frac{2m{v}_{0}}{qB}$，
r+$\frac{r}{sin30°}$=l，
解得粒子的轨道半径r=$\frac{l}{3}$，
t=$\frac{T}{3}$，
周期T=$\frac{2πm}{qB}=\frac{2πr}{v}=\frac{πl}{3{v}_{0}}$．
解得B=$\frac{6m{v}_{0}}{ql}$，t=$\frac{πl}{9{v}_{0}}$．
（3）以切点F、Q连线为直径的圆形有界匀强磁场的面积最小，设此时半径为r₁，则
${r}_{1}=rcos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}r=\frac{\sqrt{3}}{6}l$，
则S=$π{{r}_{1}}^{2}=\frac{π{l}^{2}}{12}$．
答：（1）匀强电场的电场强度E的大小为$\frac{\sqrt{3}m{{v}_{0}}^{2}}{ql}$；
（2）匀强磁场的磁感应强度B的大小为$\frac{6m{v}_{0}}{ql}$，电子在磁场中运动的时间为$\frac{πl}{9{v}_{0}}$；
（3）圆形有界匀强磁场区域的最小面积s为$\frac{π{l}^{2}}{12}$．

点评 粒子做类平抛时，由牛顿第二定律与运动学公式相结合来综合运用；在做匀速圆周运动时，由半径公式与几何关系来巧妙应用，从而培养学生在电学与力学综合解题的能力．注意区别磁场的圆形与运动的轨迹的圆形的半径不同．