题目内容

20.据报道,首次在太阳系外发现“类地”行星Kepler-186f.若宇航员乘坐宇宙飞船到达该行星,进行科学观测:该行星自转周期为T;宇航员在该行星“北极”距该行星地面附近h处自由释放一个小球(引力视为恒力),落地时间为t,已知该行星半径为R,万有引力常量为G,求:
(1)该行星的第一宇宙速度;
(2)该行星的平均密度;
(3)如果该行星存在一颗同步卫星,其距行星表面高度.

分析 (1)根据自由落体运动的位移时间公式求出行星表面的重力加速度,结合重力提供向心力求出行星的第一宇宙速度;
(2)根据万有引力等于重力求出行星的质量,结合密度公式求出行星的平均密度;
(3)根据万有引力提供向心力,求出行星同步卫星的轨道半径,从而得出卫星距离行星的高度.

解答 解:(1)根据h=$\frac{1}{2}$gt2得行星表面的重力加速度为:g=$\frac{2h}{{t}^{2}}$,
根据mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$解得行星的第一宇宙速度为:v=$\frac{\sqrt{2hR}}{t}$;
(2)根据mg=G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$得行星的质量为:M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$,
则行星的平均密度为:ρ=$\frac{M}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$=$\frac{3h}{2GπR{t}^{2}}$;
(3)万有引力提供向心力,由牛顿第二定律得:
G$\frac{Mm}{(R+h)^{2}}$=m$(\frac{2π}{T})^{2}$ (R+h),
解得:h=$\root{3}{\frac{h{T}^{2}{R}^{2}}{2{π}^{2}{t}^{2}}}$-R;
答:(1)该行星的第一宇宙速度为$\frac{\sqrt{2hR}}{t}$;
(2)该行星的平均密度为$\frac{3h}{2GπR{t}^{2}}$;
(3)如果该行星存在一颗同步卫星,其距行星表面高度为$\root{3}{\frac{h{T}^{2}{R}^{2}}{2{π}^{2}{t}^{2}}}$-R.

点评 本题考查了万有引力定律的应用,解决本题的关键掌握万有引力定律的两个重要理论:1、万有引力等于重力,2、万有引力提供向心力,并能灵活运用.

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