Question

17．高斯枪是一种利用电磁驱动将子弹发射出去的装置，其原理简图如图甲．当扣动扳机线圈里面流过如图乙变化的脉冲电流时，产生的磁力就会将金属子弹弹射出去呀．某同学也制作了一把玩具高斯枪，为了测试次强射出的子弹速度，还设计了如图丙所示特殊轨道装置．BC为半径R的$\frac{1}{4}$圆弧轨道，竖直轨道AB与圆弧轨道相切于B点，AB长为h，h可调．子弹从水平地面上A点竖直向上射出并能沿轨道运动．调节h高度，发现当h=2R时子弹恰能从C点水平飞出．忽略一切摩擦，重力加速度为g．

（1）请求出子弹从枪口射出时的速度．
（2）调节h，可以改变子弹落点．试求在子弹始终不脱离轨道时子弹落点离A的最远距离．
（3）在不改变子弹情况下，若要提高子弹发射速度，请对如何改进发射装置提出至少二条建议．

Answer 1

分析 （1）根据从A到C过程中忽略摩擦力，机械能守恒，子弹恰好能从C水平飞出求出C点速度，全程能量守恒定律求出子弹从枪口射出时的速度．
（2）子弹从出射到到达C点过程中只有重力作用，机械能守恒，由机械能守恒关系式可以求出C点速度大小，之后做平抛运动，根据竖直方向运动求出运动时间，根据速度位移公式求出水平运动距离，分析关系式，求出最大平抛水平距离，加上一个半径R即为距A最远的水平运动距离．
（3）由图甲可以看出，其工作需要通过脉冲电流的驱动线圈来产生电磁力推动子弹运动，在不改变子弹情况下，若要提高子弹发射速度，需要从驱动线圈和脉冲电流的能量入手．

解答 解：（1）设子弹从枪口射出时的速度为v_A，到达C点时速度为v_C，子弹从A到C的过程中机械能守恒，即：$\frac{1}{2}m{{v}_{A}}^{2}=mg（h+R）+\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}$
子弹恰能到达C点，则重力充当向心力，即：mg=$\frac{m{{v}_{C}}^{2}}{R}$
联立以上两式求出v_A=$\sqrt{7gR}$
（2）由（1）可知，子弹出射的机械能：$E=\frac{1}{2}m{{v}_{A}}^{2}=\frac{7}{2}mgR=mg（h+R）+\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}$
解得：${v}_{C}=\sqrt{g（5R-2h）}$
子弹从C点抛出后做平抛运动，设运动时间为t，则竖直方向：$h+R=\frac{1}{2}g{t}^{2}$
水平方向：平抛的水平距离：x=v_Ct
联立以上三式得：x=$\sqrt{（5R-2h）（2h+2R）}$
当：5R-2h=2h+2R，
即：h=$\frac{3}{4}R$时，${x}_{max}=\frac{7}{2}R$
则可知离A点的最大距离为：${x}_{A}={x}_{max}+R=\frac{7}{2}R+R=\frac{9}{2}R$
（3）由图甲可以看出，其工作需要通过脉冲电流的驱动线圈来产生电磁力推动子弹运动，在不改变子弹情况下，若要提高子弹发射速度，需要从驱动线圈和脉冲电流的能量入手．改变驱动线圈可以：增加线圈匝数；改变电流强度可以：增大脉冲电流峰值，减小脉冲时间等．
答：
（1）子弹从枪口射出时的速度为$\sqrt{7gR}$．
（2）调节h，可以改变子弹落点．试求在子弹始终不脱离轨道时子弹落点离A的最远距离为$\frac{9}{2}R$．
（3）在不改变子弹情况下，若要提高子弹发射速度，改进发射装置的建议有：增加线圈匝数，增大脉冲电流峰值，减小脉冲时间等．

点评 本题考查内容较多，包括竖直上抛运动，圆周运动和平抛运动，灵活运动各种运动学公式是基本要求．