题目内容

2．如图所示，一玩滚轴溜冰的小孩（可视作质点）质量为m=30kg，他在左侧平台上滑行一段距离后作平抛运动，恰能无碰撞地由A点进入竖直圆弧轨道（提示：即小孩在A处速度方向恰好沿圆弧轨道切线），并沿轨道下滑，A、B为圆弧两端点，其连线水平．已知AO部分圆弧光滑，OB部分粗糙，且圆弧半径为R=1.0m，对应圆心角为θ=106°，平台与AB连线的高度差为h=0.8m．（计算中取g=10m/s2，sin53°=0.8，cos53°=0.6）求：
（1）小孩作平抛运动的初速度；
（2）小孩运动到圆弧轨道最低点O时对轨道的压力；
（3）若小孩运动到圆弧轨道B点时，速度恰好为零，求小孩由O点运动到B点过程中克服摩擦力所做的功Wf．

分析 （1）小孩作平抛运动，恰能沿圆弧从A点进入圆弧轨道时，小孩在A处速度方向恰好沿圆弧轨道切线方向．根据竖直高度求出竖直分速度，从而根据平行四边形定则求出初速度的大小．
（2）根据机械能守恒定律求出小孩运动到最低点时的速度大小，通过牛顿第二定律求出支持力的大小，从而根据牛顿第三定律求出小孩对轨道的压力．
（3）小孩由O到B的过程，运用动能定理可求得克服摩擦力所做的功Wf．

解答 解：（1）无碰撞地进入竖直圆轨道，说明在A点时的速度方向恰沿圆轨道的切线，即速度方向与水平方向成 $\frac{1}{2}$θ角．
设平抛初速为 υ0，在A处速度为υA，其竖直分量为υy，如图所示．

则 $υ_y^2=2gh$
tan$\frac{θ}{2}$=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$       
得${υ_0}=\frac{{\sqrt{2gh}}}{{tan\frac{θ}{2}}}=\frac{4}{{tan{{53}°}}}=3m/s$（
（2）由题知AO部分圆弧光滑，则从抛出至到达O点的过程中机械能守恒，设O点处速度为υm，以O点为零势能面，则：
  $\frac{1}{2}mυ_0^2+mg[h+R（1-cos\frac{θ}{2}）]=\frac{1}{2}mυ_m^2$
解得 ${υ_m}=\sqrt{33}m/s$
在O点处，设小孩受支持力N，则由牛顿第二定律知：N-mg=$m\frac{υ_m^2}{R}$
由牛顿第三定律知小孩对轨道压力Nˊ=N，解得 Nˊ=1290N 
（3）由O到B，由动能定理得：$0-\frac{1}{2}mυ_m^2=-mgR（1-cos\frac{θ}{2}）-{W_f}$
解得  Wf=375J
答：
（1）小孩作平抛运动的初速度是3m/s；
（2）小孩运动到圆弧轨道最低点O时对轨道的压力是1290N；
（3）小孩由O点运动到B点过程中克服摩擦力所做的功Wf是375J．

点评 本题综合考查了圆周运动和平抛运动，知道平抛运动的规律，以及圆周运动向心力的来源是解决本题的关键．

练习册系列答案
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8．将一段确定的导线做成线圈，在确定的匀强磁场中绕垂直于磁场的轴线以固定的转速转动，产生的交流电动势最大的情况是（　　）
A．做成方形线圈，线圈平面垂直于转轴
B．做成方形线圈，转轴通过线圈平面
C．做成圆形线圈，转轴通过线圈平面
D．做成任意形状，只要转轴通过线圈平面
13．下列物体在运动过程中，机械能守恒的是（　　）
A．沿斜面减速下滑的物体B．沿光滑斜面自由下滑的物体
C．从树上落下的树叶D．匀速下落的降落伞
10．如图所示，水平面的动摩擦因数μ=0.4，一劲度系数k=10N/m的轻质弹簧，左端固定在A点，自然状态时右端位于O点．水平面右侧时其右端位于O点．水平面右侧有一竖直光滑圆形轨道在C点与水平面平滑连接，圆心O′，半径为R（未知）．用质量m1=0.4kg的物块将弹簧缓慢压缩到B点（物体与弹簧不拴接），释放后物块恰运动到C点停止，BC间距离L=2m．换同种材料、质量m2=0.2kg的物块重复上述过程．（物块、小球均视为质点，g=10m/s2）求：
（1）释放后m1物块速度最大时弹簧的形变量△x；
（2）物块m2到C点时的速度大小vc；
（2）要想物块m2在圆形轨道上从C到E的运动过程中不会离开圆形轨道，圆形轨道的半径需满足什么条件？
17．沿平直轨道运动的火车车厢中的光滑水平桌面上用弹簧拴着一个小球，弹簧处于自然长度，如图所示，当旅客看到弹簧的长度变长时，对火车运动状态的判断可能正确的是（　　）
A．向右运动，速度在增大B．向右运动，速度在减小
C．向左运动，速度在增大D．向左运动，速度在减小
7．如图所示，平行金属导轨与水平面间的倾角为θ，导轨电阻不计，与阻值为R的定值电阻相连，匀强磁场垂直穿过导轨平面，磁感应强度为B．有一质量为m，长为L导体棒从ab位置获得平行于斜面的、大小为v的初速度向上运动，最远到达cd的位置，滑行的距离为s，导体棒的电阻也为R，与导轨之间的动摩擦因数为μ，则（　　）
A．上滑动过程中电流做功发出的热量为$\frac{1}{2}$mv2-mgs（sinθ+μcosθ）
B．上滑动过程中导体棒做匀减速直线运动
C．上滑动过程中导体棒损失的机械能为$\frac{1}{2}$mv2
D．上滑动过程中导体棒受到的最大安培力为$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$
14．如图所示，一质量为m=2kg的物体，在水平恒力F的作用下，从静止开始运动，已知F=20N，物体与水平面间的动摩擦因数μ=0.5，g=10m/s2，求：
（1）物体运动的加速度大小；
（2）物体运动2s后撤去力F，物体运动的总位移大小．
11．两个分别带有电荷量-Q年+3Q的相同金属小球（均可视为点电荷），固定在相距为r的两处，它们间库仑力的大小为F，两小球相互接触后再分开一定距离，库仑力大小依然为F，则此时两小球相距（　　）
A．3rB．$\frac{1}{3}$rC．$\sqrt{3}$rD．$\frac{\sqrt{3}}{3}$r
12．如图甲所示，两根间距L=0.4m的平行金属导轨水平放置，导轨的电阻忽略不计，整个装置处于竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度B=$\sqrt{2}$T，导轨右端接有一理想变压器，变压器的原、副线圈匝数比为2：1，电表均为理想电表，一根导体棒ab置于导轨上，导体棒电阻不计且始终与导轨良好接触，若导体棒沿平行于导轨的方向在PQ和MN之间运动，其速度图象如图乙的正弦曲线所示，电阻R=10Ω，则下列判断正确的有（　　）
A．导体棒产生的感应电动势最大值4$\sqrt{2}$V
B．交流电压表读数为2V，交流电流表示数为0.2A
C．电阻R在1分钟内产生的热量为96J
D．增大导体棒运动的频率，其他条件不变，电压表示数将变大

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