Question

15．如图所示，空间存在一个半径为R₀的圆形匀强磁场区域，磁场的方向垂直于纸面向里，磁感应强度的大小为B，有一个粒子源在纸面内沿各个方向以一定速率发射大量粒子，粒子的质量为m、电荷量为+q．将粒子源置于圆心，则所有粒子刚好都不离开磁场，不考虑粒子之间的相互作用．
（1）求带电粒子的速率．
（2）若粒子源可置于磁场中任意位置，且磁场的磁感应强度大小变为$\frac{\sqrt{2}}{4}$B，求粒子在磁场中最长的运动时间t．
（3）若原磁场不变，再叠加另一个半径为R₁（R₁＞R₀）圆形匀强磁场，磁场的磁感应强度的大小为$\frac{B}{2}$，方向垂直于纸面向外，两磁场区域成同心圆，此时该离子源从圆心出发的粒子都能回到圆心，求R₁的最小值和粒子运动的周期T．

Answer 1

分析 （1）根据几何关系，结合洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律，即可求解；
（2）由几何关系，可求出运动轨迹的圆心角，根据周期公式，即可求解；
（3）根据矢量法则，可确定磁场方向与大小，再由几何关系，结合周期公式，即可求解．

解答 解：（1）粒子离开出发点最远的距离为轨道半径的2倍，由几何关系，则有R₀=2r，r=0.5R₀
根据半径公式得：r=$\frac{mv}{qB}$
解得v=$\frac{qB{R}_{0}}{2m}$
（2）磁场的大小变为$\frac{\sqrt{2}}{4}$B后，由半径公式r=$\frac{mv}{qB}$可知粒子的轨道半径变为原来的$\frac{4}{\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$倍，即为$\sqrt{2}$R₀，
根据几何关系可以得到，当弦最长时，运动的时间最长，弦为2 R₀时最长，圆心角90°
解得：t=$\frac{90°}{360°}$T=$\frac{1}{4}×$$\frac{2πm}{q•\frac{\sqrt{2}}{4}B}$=$\frac{\sqrt{2}πm}{qB}$
（3）根据矢量合成法则，叠加区域的磁场大小为 $\frac{B}{2}$，方向向里，
R₀以为的区域磁场大小为 $\frac{B}{2}$，方向向外．粒子运动的半径为R₀，
根据对称性画出情境图，
由几何关系可得R₁的最小值为：（$\sqrt{3}$+1）R₀；
根据周期公式，则有：T=（2×$\frac{2×\frac{5}{6}π}{2π}$+$\frac{2×\frac{2}{3}π}{2π}$）•$\frac{2πm}{q•\frac{B}{2}}$=$\frac{28πm}{3qB}$ 
答：
（1）带电粒子的速率为$\frac{qB{R}_{0}}{2m}$．
（2）若粒子源可置于磁场中任意位置，且磁场的磁感应强度大小变为 $\frac{\sqrt{2}}{4}$B，粒子在磁场中最长的运动时间t为$\frac{\sqrt{2}πm}{qB}$．
（3）R₁的最小值为（$\sqrt{3}$+1）R₀；粒子运动的周期T为$\frac{28πm}{3qB}$．

点评 对于带电粒子在磁场的圆周运动，要由洛伦兹力提供圆周运动向心力，根据轨迹关系求出粒子进入磁场中的速度方向，再根据速度关系求出质子在电场中做何种运动，然后根据运动性质求解．