题目内容
17．
如图所示，半径为R 的光滑圆形轨道安置在一竖直平面上，左侧连接一个光滑的弧形轨道，右侧连接动摩擦因数为μ的水平轨道CD．一小球从弧形轨道上端的A 处由静止释放，通过C 点后小球恰好能到达圆形轨道的最高点B，之后再滑入水平轨道CD，到达D点时的速度为$\sqrt{3gR}$，设重力加速度为g．求：（1）小球经过B 点时速度VB的大小；
（2）小球释放点A 距水平轨道的高度h；
（3）水平轨道CD 段的长度L．
分析 （1）对小球在B点应用牛顿第二定律，通过向心力即可求得速度；
（2）对A到B的运动过程应用机械能守恒即可求解；
（3）对A到D过程应用动能定理即可．
解答 解：（1）小球恰好能到达圆形轨道的最高点B，故小球在B处对轨道压力为零，由牛顿第二定律可得：
$mg=m\frac{{{v_B}^2}}{R}$；
所以，小球经过B点时速度大小为：vB=$\sqrt{Rg}$；
（2）小球从A到B的运动过程只有重力做功，故机械能守恒，取轨道最低点为零势能点，则有：$mgh=mg•2R+\frac{1}{2}m{v_B}{\;}^2$=$\frac{5}{2}mgR$，所以，h=2.5R；
（3）对小球，从最高点到D点全过程，只有重力、摩擦力做功，根据动能定理有：$mgh-μmgL=\frac{1}{2}m{v_D}^2-0$=$\frac{3}{2}mgR$；
所以，$L=\frac{h-\frac{3}{2}R}{μ}=\frac{R}{μ}$；
答：（1）小球经过B 点时速度VB的大小为$\sqrt{Rg}$；
（2）小球释放点A 距水平轨道的高度h为2.5R；
（3）水平轨道CD 段的长度L为$\frac{R}{μ}$．
点评 经典力学问题一般先对物体进行受力分析，求得合外力及运动过程做功情况，然后根据牛顿定律、动能定理及几何关系求解．
练习册系列答案
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