Question

13．如图所示，光滑圆柱被固定在水平平台上，质量为m₁的小球用轻绳跨过圆柱与质量为m₂的小球相连，开始时让m₁放在平台上，两边绳子竖直．两球从静止开始m₁上升，m₂下降．当m₁上升到圆柱的最高点时，绳子突然断了，发现m₁恰能平抛运动，
（1）若已知圆柱半径为R，求小球m₁到达最高点时的m₂的速度；
（2）小球m₁到达最高点时，两个小球重力势能的变化量；
（3）求比值m₁：m₂．

Answer 1

分析 （1）m₁恰能平抛运动，此时速度方向沿水平方向，由重力刚好提供向心力，根据向心力公式求出m₁此时的速度，m₂的速度大小等于m₁的速度大小．
（2）根据几何关系求出m₂下降的高度，再求解两个小球重力势能的变化量；
（3）对两球组成的系统，由于只有重力做功，系统的机械能守恒，由机械能守恒定律即可求解m₁：m₂．

解答 解：（1）当m₁上升到圆柱的最高点时m₁恰能平抛运动，则有：m₁g=m₁$\frac{{v}^{2}}{R}$
得：v=$\sqrt{gR}$
（2）根据几何关系可知：当m₁上升2R到圆柱体最高点时，m₂下降R+$\frac{πR}{2}$
小球m₁到达最高点时，两个小球重力势能的变化量为△E_p=m₁g•2R-m₂g（R+$\frac{πR}{2}$）
（3）对两球组成的系统，由机械能守恒有：m₂gR（1+$\frac{π}{2}$）-m₁g•2R=$\frac{1}{2}$（m₁+m₂）v²
联立解得：m₂：m₁=5：（π+1）
答：
（1）小球m₁到达最高点时的m₂的速度是$\sqrt{gR}$．
（2）小球m₁到达最高点时，两个小球重力势能的变化量为m₁g•2R-m₂g（R+$\frac{πR}{2}$）
（3）m₂：m₁是5：（π+1）．

点评 该题是系统的机械能守恒与圆周运动临界条件结合的问题，关键要注意隐含条件：恰能做平抛运动，此时速度方向沿水平方向，由重力充当向心力．