题目内容
（15分）有一种高脚酒杯，如图所示。杯内底面为一凸起的球面，球心在顶点O下方玻璃中的C点，球面的半径R＝1.50cm，O到杯口平面的距离为8.0cm。在杯脚底中心处P点紧贴一张画片，P点距O点6.3cm。这种酒杯未斟酒时，若在杯口处向杯底方向观看，看不出画片上的景物，但如果斟了酒，再在杯口处向杯底方向观看，将看到画片上的景物。已知玻璃的折射率n1＝1.56，酒的折射率n2＝1.34。试通过分析计算与论证解释这一现象。
解析：
把酒杯放平，分析成像问题。
1．未斟酒时，杯底凸球面的两侧介质的折射率分别为n1和n0＝1。在图1中，P为画片中心，由P发出经过球心C的光线PO经过顶点不变方向进入空气中；由P发出的与PO成a 角的另一光线PA在A处折射。设A处入射角为i，折射角为r，半径CA与PO的夹角为q ，由折射定律和几何关系可得
n1sini＝n0sinr （1）
q ＝i+a （2）
在△PAC中，由正弦定理，有
（3）
考虑近轴光线成像，a、i、r 都是小角度，则有
（4）
（5）
由（2）、（4）、（5）式、n0、nl、R的数值及
cm可得
q ＝1.31i （6）
r ＝1.56i （7）
由（6）、（7）式有
r＞q （8）
由上式及图1可知，折射线将与PO延长线相交于P¢，P¢ 即为P点的实像．画面将成实像于P¢ 处。
在△CAP¢ 中，由正弦定理有
（9）
又有 r＝q +b (10)
考虑到是近轴光线，由（9）、（l0）式可得
(11)
又有
（12）
由以上各式并代入数据，可得
cm （13）
由此可见，未斟酒时，画片上景物所成实像在杯口距O点7.9 cm处。已知O到杯口平面的距离为8.0cm，当人眼在杯口处向杯底方向观看时，该实像离人眼太近，所以看不出画片上的景物。
2．斟酒后，杯底凸球面两侧介质分别为玻璃和酒，折射率分别为n1和n2，如图2所示，
考虑到近轴光线有
（14）
代入n1和n2的值，可得
r＝1.16i （15）
与（6）式比较，可知
r＜q （16）
由上式及图2可知，折射线将与OP延长线相交于P¢，P¢ 即为P点的虚像。画面将成虚像于P¢ 处。计算可得
（17）
又有
（18）
由以上各式并代入数据得
cm （19）
由此可见，斟酒后画片上景物成虚像于P¢处，距O点13cm．即距杯口21 cm。虽然该虚像还要因酒液平表面的折射而向杯口处拉近一定距离，但仍然离杯口处足够远，所以人眼在杯口处向杯底方向观看时，可以看到画片上景物的虚像。
评分标准：
本题15分．求得（13）式给5分，说明“看不出”再给2分；求出（l9）式，给5分，说明“看到”再给3分。
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，酒的折射率
．试通过分析计算与论证解释这一现象．
